§31值定理 高等数学
高 等 数 学
费马定理设函数f(x)在x0的某邻域U(xo)上有定义, 并且在点x0处可导,如果对任意x∈U(x0) 有f(x)≤f(x),或f(x)f(x, 即在x取到极值,则f(x)=0。 证明:不失一般性。设∫(x)在点x=c取到最大值, 则∫(x)≤f(c),x∈(a,b)。 .当x<C时,有 f(x)-∫(c) 0; X-c 由极限的保号性f'(c)=im f(x)-∫(c) ≥0: x→C X-C 当x>c时,有 f∫(x)-f∫(c) 0 X-c f+(c)=lim f(x)-f(c) xe+x-c≤0;从而∫(=0
0; ( ) ( ) , − − x c f x f c 当x c时 有 费马定理 设函数 f (x)在x0 的某邻域U(x0 )上有定义， 并且在点x0 处可导，如果对任意x∈ U(x0 ), 有f (x)≤ f (x0 ) , 或f (x)≥f (x0 ), 即在x0取到极值，则f (x0 )=0。 0; ( ) ( ) ( ) lim − − = → − − x c f x f c f c x c 由极限的保号性 证明：不失一般性。设 f (x)在点 x = c 取到最大值， 则 f (x) f(c)，x(a,b)。 0; ( ) ( ) , − − x c f x f c 当x c时 有 0; ( ) ( ) ( ) lim − − = → + + x c f x f c f c x c 从而 f (c)=0
罗尔(Role)定理 罗尔(Rol)定理如果函数f(x)在闭区间a,b 上连续2在开区间(a,b)内可导且在区间端点的函 数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b内至少有一点 2(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即f∫(2)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在[-1,3上连续,在(-13)上可导,且f(-1)=f(3)=0, ∫(x)=2(x-1),取ξ=1,(l∈(-1,3)∫(ξ)=0
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续, 那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = 在开区间(a,b)内可导, 且在区间端点的函 数值相等，即 f (a) = f (b)
几何解释: C y=∫(x) 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 0 a s2 bx 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零 点击图片任意处播放暂停
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证∵f(x)在{a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则f(x)=M 由此得f(x)=0.Vξ∈(a,b),都有∫(2)=0. (2)若M≠m.∵f(a)=f(b) ∵最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a) 则在(a,b)内至少存在一点号使f()=M. ∫(ξ+△x)≤∫(ξ),∴∫(ξ+△x)-f(ξ)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0