842换元积分法 高等数学
高 等 数 学
第一类换元法 问题∫cs2 xdx$ sin2 2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2x→=M, 2 Jcos 2 xdx=cos tdt=sint+C=, 2x+C
问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下: 设F'()=f(m,则f(m)d=F(u)+C. 如果=g(x)(可微) 证明:条件 结论 f(udu=f(u)+C p( (4)=f()∫/10(x)9(x)=F0(x)+ dF[0(x)]=f[0(x)](x)dx 由此可得换元法定理
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f [(x)](x)dx f [(x)](x)dx = F[(x)]+C 由此可得换元法定理 证明: 条件 '( ) ( ) ) F u f u u x = = ( 结论 f (u)du = F（u) +C
定理1设f(u)具有原函数,u=(x)可导, 则有换元公式 SSlp(x)lo'(x)dx=[ f(u)du(x) 第一类换元公式(凑微分法) 说明使用此公式的关键在于将 ∫(x)dx化为∫qx)(x)t 观察重点不同,所得结论不同
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
例1求|sin2xdx 解(一)Jsim2thtl sin 2xd(2x) 2 =-c0s2x+C; 解(二)「sin2xdk=2| sinxcos xo 2] sin xd(sinx)=(sin x)+C; 解(三)「sin2xdk=2| sinxcos xo -2 cos xd(cos x)--(cos x)+C 大家可以看到三种解法的结果因方法的不同而形式 上不同,但在实质上是相同的,即它们的导数均是sin2x
例1 求 sin2 . xdx 解（一） sin2xdx = sin2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C 大家可以看到三种解法的结果因方法的不同而形式 上不同，但在实质上是相同的，即它们的导数均是sin2x