4国数周性的判别法 高等数学
高 等 数 学
、单调性的判别法 B y=f(r) y=f(r) B b 0 a 6 x f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数y=f(x)在[a,b上连续,在(a,b内可 导.(1)如果在(a,b内∫(x)>0,那末函数y=f(x) 在[anb]上单调增加(2)如果在(a1b)内f(x)<0, 那未函数y=f(x)在a,b上单调减少
一、单调性的判别法 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 . ( ) [ , ] ( , ) 导 设函数 y = f x 在 a b 上连续，在 a b 内可 a b B A 在 上单调增加； （）如果在 内 ，那末函数 [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) a b a b f x y = f x (2)如果在(a,b)内f (x) 0， 那末函数y = f (x)在[a,b]上单调减少
证Vx,x2∈(a,b),且x1<x2,应用拉氏定理得 f(x2)-∫(x1)=∫(2(x2-x1)(x1<5<x2) ∵x2-x1>0, 若在(a,b)内,∫(x)>0,则∫(4)>0, ∫(x2)>f(x1).∴y=∫(x)在a,b上单调增加 若在(a,b内,f(x)<0,则∫(4)<0, f(x2)<∫(x1)∴y=f(x)在a,b上单调减少
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1讨论函数y=ex-x-1的单调性 解∴y=ex-1又:D:(-∞,+) 在(-,0内,y<0, ∴函数单调减少; 在(0,+∞)内,y3>0,∴函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+)
二、单调区间求法 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的,则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 的分界点 方法:用方程∫(x)=0的根及f(x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间, 然后判断区间内导数的符号
二、单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的， 导数等于零的点和不可导点， 方法: ( ) , ( ) 0 ( ) 来划分函数 的定义区间 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x 则该区间称为函数的单调区间. 可能是单调区间 的分界点． 然后判断区间内导数的符号