、主要内容 洛必达法则 0°,1°,∞0型 auchy 0 令 中值定理(-0型 型 0 取对数 0.∞型 F(x)=x -g=1-1 型 f·g 1/g Lagrange f (a=f(b) 中值定理 ROe导数的应用 定理 单调性,极值与最值, n=0 凹凸性,拐点,函数 Taylor 常用的 图形的描绘 中值定理 泰勒公式‖曲率;求根方法
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容
1、罗尔中值定理 罗尔(Role)定理如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b 内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得函数f(x)在该 点的导数等于零, 即f(ξ)=0
1、罗尔中值定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使得函数f (x)在该 点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f =
2、拉格朗日中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数f(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 有限增量公式 y=∫(x+x)△x(0<<1) 增量Ay的精确表达式
2、拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ) (0 1). y = f x0 +x x 增量y的精确表达式. 有限增量公式
推论如果函数f(x)在区间上的导数恒为零 那末f(x)在区间/上是一个常数 3、柯西中值定理 柯西( Cauchy)中值定理如果函数f(x)及F(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x) 在(a,b)内每一点处均不为零,那末在(a,b)内至少 有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b-f(a f(5) 成立 F(b)-F(a)F(2)
3、柯西中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少 有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成立. 推论 ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I
4、洛必达法则 1°.0型及型未定式 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2.0·∞,00-∞,0,1,型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型(0),(∞) 注意:洛必达法则的使用条件
4、洛必达法则 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型及 型未定式 0 0 1 . 0 2 0 . 0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件