§3.7曲率 高等数学
高 等 数 学
弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 M R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点, 0 x+△rx 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致 (2)AM=s,当4M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号
一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
设N(x+△x,y+△y),如图,设MN=△ =V(△x)2+(4y)2 y As_MN,MNMN△x2+4 △xMN△cMN△c A M R 当Ax→0时,inMN1 △x-0MN x+△xx △ MN=√(△)2+(4y2=1+()2△x→1+y2x, △v △s 故 2 2 C 1+ dx dx 0△x s=s(x)为单调增函数, 故d=1+y2k. 弧微分公式
设N(x + x, y + y), 如图， 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx 0 , lim 1 0 → = → MN MN x x 当 时 s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o 设MN=s lim 1 , 2 0 y x s dx ds x = + = → 故 x x y MN MN x MN MN MN x s + = = 2 2 则 2 2 MN = (x) + (y) ds y dx 2 = 1+
曲率及其计算公式 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量 △S, M △S M △S1 A△s,/N M △ 弧段弯曲程度越大 转角相同弧段越短 转角越大 弯曲程度越大
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度越大 转角越大 转角相同弧段越短 弯曲程度越大 1、曲率的定义 1
设曲线C是光滑的, M是基点MMr=△s, M→M切线转角为△a.MSM △ 1ca+△a 定义 弧段MM的平均曲率为K △a △ △a 曲线C在点M处的曲率K=lim △s→>0△s 在mn22=da存在的条件下,k=d △->0△Sds ds
+ S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =