第三章极限与函数的连续性 §1极限问题的提出 28(+)-1 ( Newton 然后令h=0,先h≠0,后h=0。 Cauchy §2数列的极限 Def定义域为自然数的函数称为数列,记为{xn}。xn=f(m),n∈N。 x,也称为数列的通项。 111 n+1234 1.极限的概念 Exam1.xn=1,当n无限大时,x,无限接近于0因而x,的极限为0 Exam.2.xn=(D) Exam. 3. Xn n+I Exam. 4.x=n Exam.5.xn=1+(-1) De设{n}是一数列,n是一实数,若对于VE>0(充要)3N0,当nN时,都有 Ixn-ake 则称{xn↓收敛即它的极限为a,记为lmxn=a 几何意义:
第三章 极限与函数的连续性 §1 极限问题的提出 （Newton） gt gh g t h gt 2 1 2 2 1 ( ) 2 1 2 = + + − 然后令 h = 0 ，先 h 0 ，后 h = 0 。 （Cauchy） §2 数列的极限 Def1.定义域为自然数的函数称为数列，记为 xn 。 xn = f (n), n N 。 x1 , x2 , x3 , , xn , n x 也称为数列的通项。 Exa。 n xn 1 = ， , 4 1 , 3 1 , 2 1 1, , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1, 1 = (−1) − − n x n n 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 , +1 = n n xn 1． 极限的概念 Exam.1. n xn 1 = ，当 n 无限大时， n x 无限接近于 0。因而 n x 的极限为 0。 Exam.2. n x n n 1 = (−1) Exam.3. +1 = n n xn Exam.4. 2 xn = n Exam.5. n n x = 1+ (−1) Def2.设 xn 是一数列，n 是一实数，若对于 0 （充要） N>0,当 n>N 时，都有 | n x - a |< 则称 xn 收敛即它的极限为 a ，记为 xn a n = → lim 。 几何意义： n+1 x a n+2 x
外面仅有有限项 Def3极限为0的数列称为无穷小量(无穷小量是指一个极限概念,趋向常数0) 命题1.{xn}的极限为n<={xn-n是无穷小量 Exam6证明:lmrn=0(p>0) 证明VE>0,要体1-0p<E 只要n>(3)°,取N()2+1 则当n>N时,有 + Exam7设qK1,证明imq"=0 I ql (1+a)”1+a+…+a"a Ex8设a>0,证明 证明a≥1,{a=1+an(an≥0) Ex9证明m+11 2极限与四则运算及与不等式的关系 Th设 lim x=a,lmyn=b,则 (1)lim(xn±yn)=lmxn± lim yu=a±b; 月→① (2)lim x, y,= lim x, lm y, =ab (3)lim(n/y,)=4-o (b≠0) Im y Th2(有界性)设imxn=a,则{xn}有界 证明:对E=1,N,当n>N时
a－ a + 外面仅有有限项。 Def3.极限为 0 的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数 0） 命题 1. xn 的极限为 n <=> xn − n 是无穷小量. Exam.6.证明: 0( 0) 1 lim = → p h p n . 证明: 0,要使 | p h 1 －0|< p h 1 < . 只要 p n 1 ) 2 1 ( ,取 N= ) 1 2 1 ( 1 + P 则当 n>N 时,有 | p h 1 －0|= p h 1 ≤ P p ) 1) 2 1 ( ( 1 1 + < Exam.7.设| q |<1,证明 lim = 0 → n n q . | q | n= n n n a a a a 1 1 1 (1 ) 1 + + + = + Ex8.设 a>0,证明 lim = 1 → n n a . 证明:a≥1, =1+ ( 0) n n n a a a . Ex9.证明 1 1 lim 2 2 2 = + − → n n n . 2.极限与四则运算及与不等式的关系. Th1.设 xn a n = → lim , yn b n = → lim ,则 (1) x y x yn a b n n n n n n = = → → → lim ( ) lim lim ; (2) x y x yn ab n n n n n n = = → → → lim lim lim ; (3) ( 0) lim lim lim ( ) = = → → → b b a y x x y n n n n n n n . Th2.(有界性)设 xn a n = → lim ,则 xn 有界. 证明: 对 =1,N,当n N 时, | n x － a |<1
xnl≤|ah 取M=max{1+|alx1x2l…xnB>0, 则|xn|≤Mn=1,2 推论1若{xn}无界则{n}发散 定理3(保号性):若lmxn=a(a>0),则彐N当n>N时,有xn≥>0 证明:由lmxn=a>0,取E0=>0,彐N n→ 当n>N + 推论2:设lnxn=a (1)若a<0,彐N,当n>N时,有x<一<0 (2)若a≠0,3N,当n>N时,有|xnk 定理1的证明 (xn +yn)=a+b 定理4:若{xn}是无穷小量,{yn}是有界数列,则{xn+yn}是无穷小量。 don +an h=l Ex. 12. lim bn+b +b 0,h<l 定理5(保序性):若lmxn=a,imyn=a,彐N,当nN时,xn=y Th6.(极限不等式) Ⅶn∈Nxn≤y,且im b则a<b Th7.(夹迫性 x.≤V.≤ lim
a－1< n x < a +1 | n x |≤| a |+1 取 M=max{1+| a |,| 1 x |,| 2 x |,…, | n x |}>0, 则 | n x |≤M, n=1,2,… 推论 1.若 xn 无界,则 xn 发散. 定理 3（保号性）：若 lim = ( 0) → xn a a n ,则 N,当 n>N 时,有 0 2 n xn 。 证明：由 lim = 0 → xn a n ，取 0 2 0 = a ， N 当 n>N 时， | n x － a |< 2 a n x > a - 2 a = 2 a >0 0 a − a a + 推论 2：设 xn a n = → lim ， （1） 若 a 0, N，当 n>N 时，有 0 2 a xn ； （2） 若 a 0, N，当 n>N 时，有 0 2 | | | | a xn 。 定理 1 的证明： 1． xn yn a b n + = + → lim ( ) 。 定理 4：若{ n x }是无穷小量，{ n y }是有界数列，则{ n x ＋ n y }是无穷小量。 Ex.11. 0 1 lim = → n n s n 。 Ex.12. = = + + + + − − → h l h l b a b n b n b a n a n a l l l h h h n 0, , lim 0 0 1 0 1 1 0 1 。 定理 5（保序性）：若 xn a n = → lim ， yn a n = → lim ， N，当 n>N 时， xn = n y 。 Th6.（极限不等式） nN n n x y 且 xn a n = → lim yn b n = → lim 则 a b Th7. (夹迫性)： n n n x y z x yn a n n n = = → → lim lim => zn a n = → lim
Ex13x.=√4+B其中A>B>0求证lmxn=A A=A≤√A+B"≤√2A="√2A n=(1+h)=1+mn-1) h2+ n(n-1) hn≤ ≤G√m
Ex13 n n n xn = A + B 其中 A>B>0 求证 xn A n = → lim A A A B A A n n n n n n n n = + 2 = 2 + − = + = + 2 2 ( 1) (1 ) 1 n n n h n n n h … 2 2 ( 1) hn n n − 1 2 − n hn n n n n n n n n n 2 1 2 2 1 1 = + − + + −