《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-5 极限运算法则

二、极限的四则运算法则 定理3.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a,g(x)=B+阝 (其中a,B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+a)±(B+B) =(A±B)+(a±B） 由定理1可知@±阝也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立

二、 极限的四则运算法则 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 则有 证: 因 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 则有 f ( x)  A   , g ( x)  B   (其中  ,  为无穷小) 于是 f ( x)  g ( x)  ( A   )  (B   )  (A  B)  (   ) 由定理 1 可知    也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若

推论：若limf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x) 则A≥B 提示：令p(x)=f(x)-g(x) 利用保号性定理证明 说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形

推论: 若 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B, 且 f ( x)  g ( x), 则 A B .  ( x)  f ( x)  g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令

定理4.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)]=Clim f(x) (C为常数) 推论2.lim[f(x)]”=[limf(x)]” (n为正整数) 例2.设n次多项式Pn(x)=a0+ax++anx”,试证 lim P (x)=Pn(o). x→x0 证：lim P.(x)=ao+a41limx++an1imx” x→X0 =P,(o)

定理 4 . 若 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f ( x) ]  C lim f ( x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f ( x) ]  [lim f ( x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x   证:   lim ( ) 0 P x n x x

定理5.若1imf(x)=A,limg(x)=B,且B0,则有 limf() lim f(x)4 8(x) limg(x)B 例3. x3-1 1im(x3-1) lim- x→2 x→2X1 5x+3 lim(x2-5x+3) x-→2 (dlimx)3-1 x=2时分母不为0I x→2 (limx)-5limx+3 x→2 x→2 7 3

定理 5 . 若 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 且 B≠0 , 则有 x = 2 时分母不为 0 ! 例3. 3 2 2 2 lim( 1) lim( 5 3) x x x x x       3 2 2 2 2 (lim ) 1 (lim ) 5lim 3 x x x x x x        7 . 3  