司题裸（二） 第十二章 二阶微分方程的 解法及立用 一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二) 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章
、i 两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法一降阶法 d2y =f(x) 逐次积分求解 令p(x)= dy dx =f(x,p) dx 令p0) dy p=f0y,p〉 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 ( ) d d 2 2 f x x y • = ) d d ( , d d 2 2 x y f x x y • = 令 x y p x d d ( ) = ( , ) d d f x p x p = ) d d ( , d d 2 2 x y f y x y • = 令 x y p y d d ( ) = 逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.二阶线性微分方程的解法 齐次 ·常系数情形 代数法 非齐次 欧拉方程 x2y"+pxy'+qy=f(x)〉 令x=e,D=d dt [D(D-1)+pD+g.y =f(e') 练习题： P327题2； 3(6),(7)； 4(2)；8 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 二阶线性微分方程的解法 • 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 • 欧拉方程 x y 2 + pxy + qy = f (x) t x e D t d d 令 = , = D(D −1) + pD + q y ( ) t = f e 练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解答提示 P327题2求以y=C1ex+C2e2x为通解的微分方程 提示：由通解式可知特征方程的根为1=1，乃=2， 故特征方程为(？-1)(r-2)=0,即r2-3r+2=0 因此微分方程为y”-3y'+2y=0 P327题3求下列微分方程的通解 (6)yy-y2-1=0,(7)y+2y+5y=sin2x 提示：(6)令y'=p(y),则方程变为 -p2-1=0,即 yp dy pdp dy 1+p HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解答提示 P327 题2 求以 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解 (6) 1 0, 2 yy − y − = (7) y + 2y + 5y = sin 2x . 提示: (6) 令 则方程变为 1 0 , d d 2 − p − = y p y p 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(7)y"+2y'+5y sin2x 特征根：1,2=-1±2i, 齐次方程通解：Y=ex(C1cos2x+C2sin2x) 令非齐次方程特解为y*=Acos2x+Bsin2 代入方程可得A=么，B= 原方程通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x) 17cos2x-1sin 2x 思考 若(7中非齐次项改为sinx,特解设法有何变化？ 提示：sin2x=1cos2y 2 ,y*=Acos 2x+Bsin2x+D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
特征根: (7) y + 2y + 5y = sin 2x 齐次方程通解: ( cos 2 sin 2 ) 1 2 Y e C x C x x = + − 令非齐次方程特解为 代入方程可得 17 4 17 1 , A = B = − 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 故 y* = Acos 2x + Bsin 2x + D 原方程通解为 ( cos 2 sin 2 ) 1 2 y e C x C x x = + − 特解设法有何变化 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束