第五节反常积分的审敛法T函数 一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分的审敛法 三、厂函数 上页 下页 返回 MatheS 公式 线与面 数学家
*第五节 反常积分的审敛法 函数 一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分的审敛法 三、函数
第五节反常积分的审敛法「函数 、无穷限反常积分的审敛法 定理1设函数fc)在区间[a,+o)上连续，且f) ≥0.若函数 F(x)=["f(t)dr 在区间[a,+o)上有上界，则反常积分f(x)d收敛 证明 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
*第五节 反常积分的审敛法 函数 一、无穷限反常积分的审敛法 定理1 设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，且 f (x) 0 . = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a , +) 上有上界， + a f (x)dx 收敛. 若函数 则反常积分 *第五节 反常积分的审敛法 函数 证明 定理1 设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，且 f (x) 0 . = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a , +) 上有上界， + a f (x)dx 收敛. 若函数 则反常积分 因为区间 [a , +) 上 F(x) = f (x) 0 , 所以 F(x) 是单调增函数，又因为F(x)在[a , +) 上有上界， 故F(x)在[a , +) 上是单调有界的函数. 按照“[a , +) 上 的单调有界函数F(x)必有极限” 的准则，可知极限 →+ →+ = x a x x F(x) f (t)dt lim lim 存在，也即 + a f (x)dx 收敛. 证毕
第五节反常积分的审敛法T函数 定理2（比较审敛原理）设函数fx),gx)在区间 [a,+o)上连续.如果在区间[a,+oo)上 (①)0≤fe)≤ge),并且g(x)dr收敛，则 f也收敏； (2)0≤g)≤f),并且g(x)dr发散，则 fr也发散 证明之 上页 返回 公式 线与面 数学家
*第五节 反常积分的审敛法 函数 定理2(比较审敛原理) 设函数 f (x) , g (x)在区间 [a , +) 上连续. (1) 0 f (x) g (x)，并且 + a g(x)dx 收敛， 也收敛； 如果在区间[a , +) 上 则 + a f (x)dx (2) 0 g (x) f (x)，并且 发散， 也发散. 则 + a f (x)dx + a g(x)dx *第五节 反常积分的审敛法 函数 证明 (1) 0 f (x) g (x)，并且 + a g(x)dx 收敛， 也收敛； 则 + a f (x)dx (2) 0 g (x) f (x)，并且 发散， 也发散. 则 + a f (x)dx + a g(x)dx 设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及 + a g(x)dx 收敛，得 t a f (x)dx t a g(x)dx ( )d . + a g x x 由此可知函数 = t a F(x) f (x)dx 在 [a , +) 上有上界， 由定理1即知反常积分 + a f (x)dx 收敛
第五节反常积分的审敛法T函数 定理3（比较审敛法1）设函数fw)在区间[a,+o) (a>0)上连续，并且fx)≥0. (1)如果存在常数M>0及p>1,使得 f(x)sM (a≤x<+oo) 则反常积分f(x)dx收敛； (2)如果存在常数N>0,使得 f(x)≥ (a≤x<+o) 则反常积分 f(x)dx发散. 返回 公式 线与面 数学家
*第五节 反常积分的审敛法 函数 定理3(比较审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +) (a > 0)上连续，并且 f (x) 0 . (1) 如果存在常数 M > 0 及 p > 1，使得 ( ) (a x +) , x M f x p 则反常积分 收敛； + a f (x)dx (2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 ( ) (a x +) , x N f x 则反常积分 发散. + a f (x)dx
第五节反常积分的审敛法T函数 定理4极限审敛法1)设函数fx)在区间[a,+oo) (a>0)上连续，并且fx)≥0. (1)如果存在常数p>1,使得limxf(x)存在， X→+00 则反常积分f(x)dr收敛； (2)如果lim(x)=d>0或lim(x)=+o X>+00 X→+00 则反常积分f(x)dx发散. 证明 上页人下 返回Math6公式 线与面数学家
*第五节 反常积分的审敛法 函数 定理4(极限审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +) (a > 0)上连续，并且 f (x) 0 . (1) 如果存在常数 p > 1，使得 ( ) limx f x p x→+ 则反常积分 收敛； + a f (x)dx (2) 如果 则反常积分 发散. + a f (x)dx 存在， ( ) 0 lim = →+ x f x d x 或 ( ) , lim = + →+ x f x x *第五节 反常积分的审敛法 函数 证明 (1) 如果存在常数 p > 1，使得 ( ) limx f x p x→+ 则反常积分 收敛； + a f (x)dx 存在， 设 ( ) . limx f x c p x = →+ 由极限的定义，存在充分 大的 x1 (x1 a , x1 > 0)，当 x > x1 时，必有 |x p f (x) – c| < 1 , 0 x p f (x) < 1 + c , 于是在区间 x1 < x < + 内有不等式 . 1 0 ( ) p x c f x + 由比较审敛法1知 + 1 ( )d x f x x 收敛. 而 ( )d ( )d ( )d , 1 1 + + = + x x a a f x x f x x f x x 故 + a f (x)dx 收敛