第六节高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程解的结构 *三、常数变易法 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程解的结构 *三、常数变易法
第六节高阶线性微分方程 二阶线性微分方程举例 例1设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质 量为m的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上 的重力与弹性力大小相等、方向相反.这个 位置就是物体的平衡位置.建立如图所示的 的坐标系，原点O为平衡位置， 设在振动过程中，物体的位置函数为 x=x().下面来求振动规律. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 一、 二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质 x x O 量为 m 的物体. 当物体处于静止状态时，作用在物体上 的重力与弹性力大小相等、方向相反. 这个 位置就是物体的平衡位置. 建立如图所示的 的坐标系，原点 O 为平衡位置. 设在振动过程中，物体的位置函数为 x = x(t) . 下面来求振动规律
第六节高阶线性微分方程 ()自由振动情况物体所受的力有： 弹性恢复力f=-cx (虎克定律) dx 阻力 R=- “dt 据牛顿第二定律得 d2x dx m =-Cx- 'dt 令 2n=,k2=C m m 则得有阻尼自由振动方程： d'x dx di2 +2 +k2x=0 dt 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 x x O (1) 自由振动情况 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 据牛顿第二定律得 , 2 m c 2 , k = m n = 则得有阻尼自由振动方程: 0 . d d 2 d d 2 2 2 + + k x = t x n t x 阻力 令
第六节高阶线性微分方程 (2)强迫振动情况若物体在运动过程中还受铅直外力 F=Hs如pr作用，令h=仁，则得强迫振动方程： m 2kxhsm pl 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 (2) 强迫振动情况 若物体在运动过程中还受铅直外力 ， m H h = 则得强迫振动方程: sin . d d 2 d d 2 2 2 k x h pt t x n t x + + = F = H sin pt 作用，令
第六节高阶线性微分方程 例2设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串 联组成的电路，其中R,L,C为常数，E=E sin @t, 求电容器两极板间电压uc所满足的微分方程. 设电路中电流为①)，极板上的电 量为q(④，自感电动势为EL, 由电学知1=9c-名，E=- di 根据回路电压定律有 E-L di -Ri=0 dt C 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第六节 高阶线性微分方程 求电容器两极板间电压 uC 所满足的微分方程 . 0 . d d − − − Ri = C q t i E L 例2 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 设电路中电流为 i(t), 量为 q(t) , 自感电动势为 EL , 由电学知 根据回路电压定律有 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板上的电 + q ‖ L E ~ R Q C − q i