-ay'2=0 P327题4(2) 求解 x=0=0, 2x=0=-1 提示：令y'=p(x),则方程变为 =ap dx 积分得 -1=ax+C,利用Px0=y=0=-1得C=1 再解 dy dx ,并利用x=0=0,定常数C2 1+ax y-y3=0 思考 若问题改为求解 yx=0=0,yx=0=1 则求解过程中得p2= 1-x 问开方时正负号如何确定？ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P327 题4(2) 求解 0 2 y − ay = 0 , y x=0 = y x=0 = −1 提示: 令 则方程变为 积分得 , 1 C1 ax p − = + 利用 1 p x=0=y x=0 = − 得 C1 =1 再解 , 1 1 d d x ax y + − = 并利用 0 , y x=0 = 定常数 . C2 思考 若问题改为求解 0 , y x=0 = 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定? 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327题8设函数1=f(r),r=x2+y2+z2在r>0 内满足拉普拉斯方程 +0+。2=0,其中f(ry 二阶可导，且f()=f')=1,试将方程化为以r为自变 量的常微分方程，并求f(r 提示： j5+o- u 0x2 利用对称性，原方程可化为f"(r)+二f'(r)=0 即 r2f"(r)+2rf"(r)=0(欧拉方程) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
P327 题8 设函数 在 r > 0 内满足拉普拉斯方程 0, 2 2 2 2 2 2 = + + z u y u x u 二阶可导, 且 试将方程化为以 r 为自变 量的常微分方程 , 并求 f (r) . 提示: r x f r x u = ( ) = + 2 2 2 2 ( ) r x f r x u f (r) ( ) r 1 3 2 r x − 利用对称性, 即 ( 欧拉方程 ) 原方程可化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解初值问题 r2f"(r)+2rf")=0 Lf①=f')=1 令t=lnr,记D=d 则原方程化为 [DD-1)+2D]f=0即[D2+D]f=0 通解fv)=C+C2e=C+C2, 利用初始条件得特解： /r)=2-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解初值问题: 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求微分方程 y”+y=x,X≤ 满足条件 y”+4y=0,x> x=0=0,yx=0=0,在x=乏处连续旦可微的解 提示：当x≤牙时，解满足 y”+y=x Vx=0=0,yx=0=0 特征根：1,2=±， 设特解：y*=Ax+B,代入方程定A,B,得y*=x 故通解为y=C1cosx+C2sinx+x 利用x=0=0,y1x-0=0,得 y=-sinx+x(x≤号) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y = C cos x +C sin x + x 1 2 特征根 : , 1,2 r = i 例1. 求微分方程 2 , y + y = x x 提示: 故通解为 2 4 0 , y + y = x 满足条件 解满足 y + y = x 0 , y x=0 = y x=0 = 0 处连续且可微的解. 设特解 : y = Ax + B, 代入方程定 A, B, 得 0, 0, 利用y x=0 = y x=0 = 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
由x=牙处的衔接条件可知，当x>时，解满足 y"+4y=0 lyx=-1+，yx=1 其通解：y=C1sin2x+C2cos2x 定解问题的解y=-sn2x+(1-)cos2x,x≥3 故所求解为 -sinx+x, x< y -sin2x+(1-3)cos2x,x≥经 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结束
处的衔接条件可知, y + 4y = 0 解满足 故所求解为 y = 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , − x + − x x y C sin 2x C cos 2x 其通解 = 1 + 2 : 定解问题的解: 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , y = − x + − x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束