第七节常系数齐次线性微分方程 一、定义 二、解法 三、举例 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第七节 常系数齐次线性微分方程 一、定义 二、解法 三、举例
第七节常系数齐次线性微分方程 定义 定义形如 J”+y+心=0(p,q是常数) 的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，如果p,q不 全是常数，则称之为二阶变系数齐次线性微分方程 例如，J”+2y-5y=0,二阶常系数齐次线性微分方程 y”+2y'+3xy=0.二阶变系数齐次线性微分方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第七节 常系数齐次线性微分方程 一、 定义 定义 形如 y + py + qy = 0 (p , q 是常数) 的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，如果 p , q 不 全是常数，则称之为二阶变系数齐次线性微分方程. 例如，y + 2y – 5y = 0, 二阶常系数齐次线性微分方程 y + 2y + 3xy = 0. 二阶变系数齐次线性微分方程
第七节常系数齐次线性微分方程 二 解法 1.二阶常系数齐次线性微分方程 由二阶齐次线性微分方程通解的结构可知，要求通 解，就是要求它的两个线性无关的特解.那么如何求两 个线性无关的特解呢？为此先来分析方程的特点. 特点函数与其一阶、二阶导数只差一个常数因子. 而指数函数y=ex(r为常数)刚好具有这一特性， 因此可用指数函数y=ex(r为常数)来尝试， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第七节 常系数齐次线性微分方程 由二阶齐次线性微分方程通解的结构可知，要求通 解，就是要求它的两个线性无关的特解. 那么如何求两 个线性无关的特解呢？为此先来分析方程的特点. 特点 函数与其一阶、二阶导数只差一个常数因子. 而指数函数 y = erx (r 为常数) 刚好具有这一特性， 因此可用指数函数 y = erx (r 为常数) 来尝试. 二、 解法 1. 二阶常系数齐次线性微分方程
第七节常系数齐次线性微分方程 J”+y+y=0D,q是常数) 设y=er(r为待定常数)是方程的解，则 y'=rerx,y"=r2erx, 代入方程并化简，得 (r2+pr+g)erx=0. 0 特征方程 r2+pr+q=0. 这就说明：只要r满足特征方程，那么y=ex便是解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第七节 常系数齐次线性微分方程 y + py + qy = 0 (p , q 是常数) 设 y = erx (r 为待定常数) 是方程的解，则 y = re rx , y = r2e rx , 代入方程并化简，得 (r 2 + pr + q)erx = 0 . r 2 + pr + q = 0 . 特征方程 这就说明：只要 r 满足特征方程，那么 y = erx 便是解
第七节常系数齐次线性微分方程 y”"+py+y=0p,q是常数)2+pr+q=0 1.当p2-4q>0时，特征方程有两个不相等的实根 设为，2，则可得微分方程的两个线性无关的特解： y=eix,y2=ex 于是通解为 y=Cen+Ce 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第七节 常系数齐次线性微分方程 y + py + qy = 0 (p , q 是常数) r 2 + pr + q = 0 1. 当 p 2 – 4q > 0 时，特征方程有两个不相等的实根 设为 r1 , r2 , 则可得微分方程的两个线性无关的特解： e , e , 1 2 1 2 r x r x y = y = 于是通解为 e e . 1 2 1 2 r x r x y = C + C