《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节常系数非齐次线性微分方程 一、定义 二、f)=ex P)型 三、fx)=er[Px)coso+Pnx)sin@x]型 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 一、定义 二、f(x) = ex Pm(x) 型 三、f (x) = e x [Pl (x)cosx+Pn (x)sinx ]型

第八节常系数非齐次线性微分方程 定义 定义形如 y”+py'+y=f)(D,q是常数) 的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其通解的结构为 非齐通=齐通+非齐特 本节将要讨论的问题是：当f)是某些特殊类型的 函数时，如何快速求出特解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 一、 定义 定义 形如 y + py + qy = f (x) (p , q 是常数) 的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 其通解的结构为 非齐通 = 齐通 + 非齐特. 本节将要讨论的问题是：当 f (x) 是某些特殊类型的 函数时，如何快速求出特解

第八节常系数非齐次线性微分方程 二、fc)=eix p)型 y"+py'+qy=eax Pm(x). 设方程的特解为y=Qx)ex.将 y*=e(x)ekx y'=ex[2c)+Q'c)川， y*"=e2x[22Qx)+222'x)+2"x)】, 代入方程，并消去ex,得 2")+(22+p)2'c)+(22+p2+q)2x)=Pmc). 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 二、 f (x) = ex Pm(x) 型 y + py + qy = e x Pm(x). 设方程的特解为 y * = Q(x)ex . 将 y * = Q(x)ex ， y * = ex [Q(x) + Q(x)] ， y * = ex [ 2Q(x) + 2Q(x) + Q(x)] ， 代入方程，并消去e x ，得 Q(x) + (2 + p)Q(x) + ( 2 + p + q)Q(x) = Pm(x)

第八节常系数非齐次线性微分方程 2"x)+(22+p)Q'x)+(22+p2+q)2x)=Pmc) 1.当入不是特征根时，22+p入+q≠0，使上式成立 Q)应是m次多项式，故特解的形式为 y*=em(x)eix. 2.当2是特征方程的单根时，22+p2+q=0,而 22+p≠0，使上式成立Qx)应是m+1次多项式，故特 解的形式为 y"=xem(x)e4x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 Q(x) + (2 + p)Q(x) + ( 2 + p + q)Q(x) = Pm(x) 1. 当  不是特征根时， 2 + p + q  0，使上式成立 Q(x) 应是 m 次多项式，故特解的形式为 y * = Qm(x)ex . 2. 当  是特征方程的单根时， 2 + p + q = 0，而 2 + p  0，使上式成立Q(x) 应是 m + 1 次多项式，故特 解的形式为 y * = xQm(x)ex

第八节常系数非齐次线性微分方程 Q"c)+(2+p)Q')+(22+p2+q)2c)=Pmc) 3.当2是特征方程的重根时，2+p2+q=0,且 22+p=0,使上式成立Qx)应是m+2次多项式，故特 解的形式为 y*=x2Cm(x)eax. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 3. 当  是特征方程的重根时， 2 + p + q = 0，且 2 + p = 0，使上式成立Q(x) 应是 m + 2 次多项式，故特 解的形式为 y * = x 2Qm(x)ex . Q(x) + (2 + p)Q(x) + ( 2 + p + q)Q(x) = Pm(x)