第五节可降阶的高阶微分方程 一、y四=fx)型 二、y=fx,y)型 三、y”=f0,y)型 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 可降阶的高阶微分方程 一、y (n) = f (x) 型 二、y = f (x , y ) 型 三、y = f (y , y ) 型
第五节可降阶的高阶微分方程 一、y网=fx)型 形如ym=f(x)的高阶微分方程的求解方法： 方程两边接连积分n次，即可得到含有n个任意常 数的通解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 可降阶的高阶微分方程 一、 y (n) = f (x) 型 形如 y (n) = f (x) 的高阶微分方程的求解方法： 方程两边接连积分 n 次，即可得到含有 n 个任意常 数的通解
第五节可降阶的高阶微分方程 例1解方程y"=e2x-cosx. 解 例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线 运动，设力F仅是时间t的函数：F=F().在开始时刻 t=0时FO)=F,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到t=T时F(T=0.如果开始时质点在原点，且 初速度为0，求质点的运动规律 解之 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 可降阶的高阶微分方程 例1 解方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 解 例1 解方程 e cos . 2 y x x = − 对所给方程接连积分三次，得 e sin , 2 1 2 y x C x = − + e cos , 4 1 2 2 y x Cx C x = + + + . 2 e sin 8 1 2 3 1 2 1 2 = + + + + = C y x C x C x C C x 例2 质量为 m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线 运动，设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F(t). 在开始时刻 t = 0 时 F(0) = F0，随着时间的增大，此力 F 均匀地减 小，直到 t = T 时 F(T) = 0. 如果开始时质点在原点，且 初速度为0，求质点的运动规律. 第五节 可降阶的高阶微分方程 解 例2 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线 运动，设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F(t). 在开始时刻 t = 0 时 F(0) = F0，随着时间的增大，此力 F 均匀地减 小，直到 t = T 时 F(T) = 0. 如果开始时质点在原点， 且 初速度为0，求质点的运动规律. 设运动规律为 x = x(t) . O x y F0 T = − T t F(t) F0 1 根据牛顿第二定律，可得初值问题
第五节可降阶的高阶微分方程 二、y”=f心，Jy)型 形如y”=fc,y)的高阶微分方程的求解方法： 令y'=p,则y”=p',原方程变形为 p'=f(x,p). 这是一个以x为自变量，以p为函数的一阶微分方程， 解出p后，在方程y=两边再积一次分即可得原方程 的通解。 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 可降阶的高阶微分方程 二、y = f (x , y) 型 形如 y = f (x , y ) 的高阶微分方程的求解方法： 令 y = p， 则 y = p ，原方程变形为 p = f (x , p ). 这是一个以 x 为自变量，以 p 为函数的一阶微分方程， 解出 p 后，在方程y = p两边再积一次分即可得原方程 的通解
第五节可降阶的高阶微分方程 例3求微分方程(1+x2)y”=2y满足初始条件 儿0=1，y儿x0=3的特解 解 例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅 受重力的作用而下垂，试问该绳索 在平衡状态时是怎样的曲线？ M 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 可降阶的高阶微分方程 x y O A M H gs T 例3 求微分方程 满足初始条件 的特解. 第五节 可降阶的高阶微分方程 解 例3 求微分方程 (1+ x ) y = 2xy 2 满足初始条件 y| x=0 =1, y | x=0 = 3 的特解. 令 y = p，则 y = p ，原方程变形为 (1 ) 2 , 2 + x p = xp , 1 2 d d 2 p x x x p + = 分离变量，得 d , 1 d 2 2 x x x p p + = 两边积分，得 ln | | ln(1 ) , 2 p = + x +C (1 ) . 2 1 p = y = C + x 上式再两边积分，得 ) . 3 1 ( 2 3 y = C1 x + x +C 由初始条件可求得特解为 3 1. 3 y = x + x + 例4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅 受重力的作用而下垂，试问该绳索 在平衡状态时是怎样的曲线？ 第五节 可降阶的高阶微分方程 解 例4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅 受重力的作用而下垂，试问该绳索 在平衡状态时是怎样的曲线？ x y O A M H gs T 取坐标系如图. 考察最低点 A 到任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: 弧段重力大小 gs ( : 密度, s :弧长)． A 点受水平张力 H， M 点受切向张力T