司题裸（一） 第十二章 一阶微分方程的 解法及应用 阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章
一阶微分方程求解 一阶标准类型方程求解 四个标准类型：可分离变量方程齐次方程 线性方程，全微分方程 关键辨别方程类型，掌握求解步骤 2.一阶非标准类型方程求解 (1)变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2)积分因子法 选积分因子，解全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束
一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求下列方程的通解 0y+e*x=0 (2)xy=Vx2-y2+y: )y=2x- 6x3+3xy 3x2y+2y3 提示：(1)因e+x=ee,故为分离变量方程 -y2e->dy=e*dx 通解 ger-e'+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2 + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y − = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + + = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)xy'=Vx2-y2+y 方程两边同除以x即为齐次方程，令y=x,化为分 离变量方程 x>0时y=1-(+一=1- x<0时，y=-1-( →x=-V1-22 (3)y= 2x-y2 调换自变量与因变量的地位，化为 用线性方程通解公式求解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 下页返回结
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy = x − y + y 2 2 (2) x 0时， 2 xu = 1− u 2 xu = − 1− u ( ) x y x y y = − + 2 1 ( ) x y x y y = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 (3) x y y − = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4)y= 6x3+3xy2 3x2y+2y 方法1这是一个齐次方程.令u=Y 方法2化为微分形式 (6x3+3xy2)dx+(3x2y+2y3)dy=0 o0 Oy 故这是一个全微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + + = − 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 (6 3 )d (3 2 )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 故这是一个全微分方程 . x y 令 u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x Q xy y P = = 6