第三节齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次的方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 齐次方程 一、齐次方程 *二、可化为齐次的方程
第三节齐次方程 一、齐次方程 1.定义 定义如一阶微分方程 =fx,)可化成 dx -o d 的形式，则称该一阶微分方程为齐次方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 齐次方程 一、齐次方程 定义 如一阶微分方程 ( , ) d d f x y x y = 可化成 的形式， 则称该一阶微分方程为齐次方程. 1. 定义 = x y x y d d
第三节齐次方程 2 dx 2.解法 令u=上，则y=, d 2=u du 于是原方程化为 d dx du =p(u）-u. 这为可分离变量的微分方程. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 齐次方程 2. 解法 = x y x y d d 令 , x y u = 则 , d d d d , x u u x y y = ux = + 于是原方程化为 ( ) . d d u u x u x = − 这为可分离变量的微分方程
第三节齐次方程 例1解微分方程y=y+ta y x x 解 例2求微分方程(y2-2xy)dx+x2dy=0的通解. 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 齐次方程 例1 解微分方程 tan . x y x y y = + 第三节 齐次方程 解 例1 解微分方程 tan . x y x y y = + 令 , x y u = 则 , d d d d , x u u x y y = ux = + 于是原方程化为 u + xu = u + tan u . 分离变量 , d d sin cos x x u u u = 两边积分 , d d sin cos = x x u u u 得 ln sin u = ln x + ln C , sin u = C x . 故原方程的通解为 C x x y sin = ( C 为任意常数 ). 例2 求微分方程 第三节 齐次方程 解 例2 求微分方程 原方程变形，得 2 , d d 2 − = x y x y x y 令 , x y u = 则有 2 , d d 2 u u x u u + x = − . d d 2 u u x u x = − 分离变量，得 , d d 2 x x u u u = − 积分得 ln ln , 1 ln x C u u = − + − 代回原变量得通解 . ( 1) C u x u = − x ( y − x ) = Cy (C 为任意常数). ( 2 )d d 0 2 2 y − x y x + x y = 的通解． 的通解．
第三节齐次方程 例3探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面，它的形状由 xOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成，按聚光性能 的要求，在其旋转轴x轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行求曲线L的方程. 解 上页 下页 返回 MatheS 公式 线与面 数学家
第三节 第三节 齐次方程 齐次方程 解 例3 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线, xOy 坐标面上的一条曲线L绕 x 轴旋转而成,按聚光性能 经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程. 由光的反射定律: L : y = f (x) ( y 0) . 将光源所在点取作坐标原点, 并设 入射角 = 反射角 例3 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线, xOy 坐标面上的一条曲线L绕 x 轴旋转而成,按聚光性能 经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程. A O P N M S T L x y