第二节微积分基本公式 一、引例 二、积分上限的函数 三、牛顿莱布尼茨公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 微积分基本公式 一、引例 二、积分上限的函数 三、牛顿—莱布尼茨公式
第二节微积分基本公式 一、引例 设一物体作变速直线运动，其速度函数为（①，位置 函数为s(),求物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程， 路程s可以用两种方法计算： 用速度函数计算：s=) 第一节问题2 用位置函数计算：s=s(T)-s(T). 于是有 s=0)dt=s(T)-s), 在这时里有s'(t)=v(t),即s(是v()的一个原函数， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 微积分基本公式 一、引例 设一物体作变速直线运动，其速度函数为 v(t)，位置 函数为 s(t) , 求物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程. 路程 s 可以用两种方法计算： 用速度函数计算： ( )d ; 2 1 = T T s v t t 第一节问题2 用位置函数计算： ( ) ( ). 2 T1 s = s T −s 于是有 ( )d ( ) ( ) , 2 1 2 1 s v t t s T s T T T = = − 在这时里有 s (t) = v(t) , 即 s(t) 是 v(t) 的一个原函数
第二节微积分基本公式 v(t)dt =s(T)-s(T) 上式说明：定积分v)t等于被积函数在积分区 间[T1,T】上的一个原函数s)在积分区间上的增量. 那么这一结论具不具有普遍性呢？即若设Fx)是 fc)在区间[a,b]上的一个原函数，是否也有 f(x)dx=F(b)-F(a). 这就是本节要研究的问题， 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家
第二节 微积分基本公式 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 上式说明： 2 1 ( )d T T v t t 等于被积函数 v(t) 在积分区 间[T1 , T2 ] 上的一个原函数 s(t) 在积分区间上的增量. 那么这一结论具不具有普遍性呢？ 即若设 F(x) 是 f (x) 在区间 [a , b] 上的一个原函数，是否也有 f (x)dx F(b) F(a). b a = − 这就是本节要研究的问题. 定积分
第二节微积分基本公式 二、积分上限的函数及其导数 1.定义 定义设函数f)在区间[a,b]上连续，x∈[a,b, 则定积分f(t)dt是积分上限x的函数，称之为积分 上限的函数，记作x): Φ(x)=ft)dt(a≤x≤b) 下面来研究积分上限的函数的性质， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 微积分基本公式 二、积分上限的函数及其导数 1. 定义 定义 设函数 f (x) 在区间 [a , b] 上连续，x [a , b], 则定积分 x a f (t)dt 是积分上限 x 的函数，称之为积分 上限的函数， Φ(x) f (t)dt (a x b). x a = 下面来研究积分上限的函数的性质. 记作 (x)：
第二节微积分基本公式 2.积分上限的函数的性质 定理1如果函数fx)在区间[a,]上连续， 则积分 上限的函数 D(x)=["f(t)dr 在[a,b]上可导，并且 de0=wasrsh. y=f(c 证明 f( Ex+Axb x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 微积分基本公式 a x x+x b x y y = f (x) (x) f () O 2. 积分上限的函数的性质 定理1 如果函数 f (x) 在区间 [a , b] 上连续，则积分 上限的函数 = x a Φ(x) f (t)dt 在 [a , b] 上可导，并且 ( )d ( ) ( ). d d ( ) f t t f x a x b x Φ x x a = = 第二节 微积分基本公式 证明 ( )d ( ) ( ) . d d ( ) [ , ], ( ) f t t f x a x b x f x C a b Φ x x a = = 若 x (a , b)，设 x 取得增量x, 且x+ x(a, b) 则 Φ(x) = Φ(x + x) −Φ(x) = − + x a x x a f (t)dt f (t)dt + = x x x f (t)dt = f ( )x . 积分中值定理 a x x+x b x y y = f (x) (x) f () O