第二节可分离变量的微分方程 一、概念及解法 二、举例 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 可分离变量的微分方程 一、概念及解法 二、举例
第二节可分离变量的微分方程 概念及解法 1.定义 在本节讨论如下形式的一阶微分方程 出W→Ox-xn 定义在一阶微分方程 张功中，若函数化川 可分离变量，即f化，)=p(c)y),则称该一阶微分 为可分离变量的微分方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 可分离变量的微分方程 一、概念及解法 在本节讨论如下形式的一阶微分方程 ( , ) , d d f x y x y = 定义 在一阶微分方程 ( , ) d d f x y x y = 中，若函数f (x, y) 可分离变量，即 f (x , y) = (x) (y)，则称该一阶微分 为可分离变量的微分方程. 1. 定义 Q(x, y)dy = P(x, y)dx
第二节可分离变量的微分方程 2.解法 Stepl分离变量设y=fx,)是可分离变量的微 dx 分方程，即业=0(w),分离变量，得 dx 1 y=o(x)dx; w(r) Step2两边积分设y=gx)是该方程的解，则有 1 g'(x)dx≡gp(x)dx, wIg(x)] 1 两边积分 [g(x)] g'(x)dr≡∫p(x)drx, 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 可分离变量的微分方程 2. 解法 Step1 分离变量 设 ( , ) d d f x y x y = 是可分离变量的微 分方程，即 ( ) ( ) , d d x y x y = 分离变量，得 d ( )d ; ( ) 1 y x x y = Step2 两边积分 设 y = g(x) 是该方程的解，则有 ( )d ( )d , [ ( )] 1 g x x x x g x 两边积分 ( )d ( )d , [ ( )] 1 g x x x x g x
第二节可分离变量的微分方程 g(x)dr≡p(x)dr, ∫-jatr 设左右两端的原函数分别为平(y)、Φx),则有 平y)=D(x)+C(C为任意常数) 上式即为方程的通解，称之为隐式通解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 可分离变量的微分方程 ( )d ( )d , [ ( )] 1 g x x x x g x d ( )d . ( ) 1 y = x x y 设左右两端的原函数分别为 (y)、 (x)，则有 (y) = (x) + C (C 为任意常数). 上式即为方程的通解，称之为隐式通解
第二节可分离变量的微分方程 二、举例 例1求微分方程张-2w的通解 解 例2解初值问题 xdx+(x2+1)dy=0, ylk-0=1. 解 例3求微分方程 =sin2(x-y+)的通解。 dx 解立 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第二节 可分离变量的微分方程 二、举例 例1 求微分方程 xy x y 2 d d = 的通解. 第二节 可分离变量的微分方程 解 例1 求微分方程 xy x y 2 d d = 的通解. 分离变量，得 2 d , d x x y y = 两边积分，得 2 d , d = x x y y 所以通解为 ln | | , 1 2 y = x +C 1 2 e x C y + = e , 2 x = C e . 2 x y = C 积分曲线如图所示. x y O 2 e x y = C 例2 解初值问题第二节 可分离变量的微分方程 解 分离变量，得 d , 1 d 1 2 x x x y y + = − 两边积分，得 d , 1 d 1 2 + = − x x x y y 所以通解为 1 . 2 y x + = C 积分曲线如图所示. 例2 解初值问题 = + + = = | 1. d ( 1)d 0 , 0 2 x y x y x x y ln( 1) , 2 1 ln 1 2 y = − x + +C 由初始条件可得 C = 1，故特解 为 1 1. 2 y x + = x y O = + + = = | 1. d ( 1)d 0 , 0 2 x y x y x x y 例3 求微分方程 sin ( 1) d d 2 = x − y + x y 的通解. 第二节 可分离变量的微分方程 解 令 u = x – y + 1， 例3 求微分方程 sin ( 1) d d 2 = x − y + x y 的通解. 则 u = 1 – y , 原方程变为 1 – u = sin2 u， 即 cos . d d 2 u x u = 化为可分离变量的微分方程， tan u = x +C . tan(x − y +1) = x + C ( C 为任意常数 ). 所求通解为 解之得 x y O