复变函数1)留数定理设函数f(z）在区域D内除有限个孤立奇点Z1,z2，,zn外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那未4Mf(z）dz=2元i1Res[f(z),zk)k=1C留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数U
11 1)留数定理 设函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 n z ,z , ,z 1 2 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 = = n k k C f z z i f z z 1 ( )d 2π Res[ ( ), ] 立奇点 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数 在C内各孤立奇点处的留数
复变函数2)留数的计算方法(1)如果 Zo为 f(z)的可去奇点,则Res[f(z),zo] = 0.(2)如果z为 f(z)的本性奇点,则需将,f(z)展开成洛朗级数求c-1(3)如果z为 f(z)的极点,则有如下计算规则如果z为f(z)的一级极点，那末未aRes[f(z),zol = lim(z - Zo)f(z - zo)Z-→Z0U
12 (1) 如果 0 z 为 f (z) 的可去奇点, 则 Res[ ( ), ] 0. f z z0 = Res[ ( ), ] lim( ) ( ) 0 0 0 0 f z z z z f z z z z = − − → a) 如果 z0 为 f (z) 的一级极点, 那末 (2) 如果 0 z 为 的本性奇点, 则需将 成洛朗级数求 −1 c f (z) f (z) 展开 (3) 如果 0 z 为 f (z) 的极点, 则有如下计算规则 2)留数的计算方法
复变函数b)如果zo为f(z)的 m级极点,那未dm-11Res[f (z), zo =lim(m - 1)m dzm-1 (z - o)" f(z)P(z)P(z) 及 Q(z)在 z.都解析设,f(z)C)=Q(z)如果 P(zo）≠0,Q(z）=0,Q(zo）≠0，那末 zoP(zo)为一级极点,且有Resf(z),zol=Q'(zo)U
13 c) 设 , ( ) ( ) ( ) Q z P z f z = P(z) 及 Q(z) 在 0 z 如果 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, P z0 Q z0 = Q z0 那末 0 z 为一级极点, 且有 都解析， . ( ) ( ) Res[ ( ), ] 0 0 0 Q z P z f z z = 如果 z0 为 f (z) 的 m 级极点, 那末 [( ) ( )] d d lim ( 1)! 1 Res[ ( ), ] 1 0 1 0 0 z z f z m z f z z m m m z z − − = − − → b)
复变函数3）无穷远点的留数1.定义 设函数f(z)在圆环域 0<zl<+8内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线f(z)dz的值与C无关，则称此定那末积分2元值为 f(z)在8 的留数1f(z)dz记作 Res[f(z),80] =p f(z)dz =2元2元 i-C也可定义为 Res[,f(z),o0] =-C-1u
14 Res[ ( ), ] . = −C−1 也可定义为 f z = − C f z z i ( )d 2π 1 记作 − = C f z z i f z ( )d 2π 1 Res[ ( ), ] 1.定义 设函数 f (z) 在圆环域 0 z + 内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线 那末积分 值为 f (z) 在 的留数. 的值与C无关 , 则称此定 − C f z z i ( )d 2π 1 3)无穷远点的留数
复变函数定理如果函数f（z）在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那未f（z）在所有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零U
15 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零. f (z) 定理