复变函数i极点定义 如果洛朗级数中只有有限多个-o的负幂项,其中关于(zzo)-的最高幂为(zzo)-m即 f(z)=+C-m(z-zo)-m +·+C-2(z-zo)-2 +C-1(z-zo)- +Co+ cCi(z - zo) +...(m ≥ 1, c-m ±0)1或写成f(z) =(z - zo)m g(2),那末孤立奇点称为函数f(z)的 m级极点u
6 ii) 极点 0 1 1 0 2 0 2 0 f (z) c (z z ) c (z z ) c (z z ) c m m = + − + + − + − + − − − − − − ( 1, 0) −m + c1 (z − z0 ) + m c ( ) , ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = 0 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z − z 的 1 0 ( ) − z − z ( ) , 0 m z z − 负幂项, 其中关于 的最高幂为 − 即 那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 级极点. 或写成
复变函数极点的判定方法(a)由定义判别f(z)的洛朗展开式中含有z一z.的负幂项为有限项(b)由定义的等价形式判别g(z)在点 zo的某去心邻域内f(z)E(z - Zo)m其中 g(z)在zo的邻域内解析,且 g(zo)± 0.艮 limf(z)=80 判断。(c)利用极限Z→Z0u
7 极点的判定方法 0 在点 z 的某去心邻域内 m z z g z f z ( ) ( ) ( ) − 0 = 其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 ( ) 0. g z0 f (z) 的洛朗展开式中含有 z − z0 的负幂项为有 限项. (a) 由定义判别 (b) 由定义的等价形式判别 (c) 利用极限 = → lim ( ) 0 f z z z 判断
复变函数i)本性奇点如果洛朗级数中含有无穷多个z一zo的负幂项那末孤立奇点Z.称为f()的本性奇点注意：在本性奇点的邻域内 lim f(z)Z→Z0不存在且不为 8.U
8 如果洛朗级数中含有无穷多个 0 z − z 那末孤立奇点 0 z 称为 f (z) 的本性奇点. 的负幂项, 注意: 在本性奇点的邻域内 lim ( ) 0 f z z→z 不存在且不为 . iii)本性奇点
复变函数3)函数的零点与极点的关系i)零点的定义 不恒等于零的解析函数 f(z)如果能表示成 f(z)=(z-z)m(z), 其中 (z)在 zo解析且 (zo）≠0,m为某一正整数，那末zo 称为f(z)的 m级零点i零点与极点的关系1如果Zo是f(z)的m级极点,那末zo就是f(z)的m级零点.反过来也成立u
9 i) 零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z) 如果 能表示成 ( ) ( ) ( ), 0 f z z z z m = − (z) 0 其中 在 z ( ) 0, 解析且 z0 m为某一正整数, 那末 0 z 称为 f (z) 的 m 级零点. 3)函数的零点与极点的关系 ii)零点与极点的关系 如果 0 z 是 f (z) 的 m 级极点, 那末 0 z 就是 ( ) 1 f z 的 m 级零点. 反过来也成立
复变函数2.留数定义如果z为函数f(z)的一个孤立奇点，则沿在z的某个去心邻域0<一zol<R内包含的f(z)dz的值除任意一条简单闭曲线C的积分C以2元i后所得的数称为f(z)在z的留数记作Res[f(z),zol. (即 f(z)在z,为中心的圆环域内的洛朗级数中负幂项c-1(z一zo)-1的系数.)U
10 2. 留数 记作 Res[ ( ), ]. 0 f z z 域内的洛朗级数中负 ( ) .) 1 幂项c−1 z − z0 − 的系数 (即 f (z)在z0为中心的圆环 定义 如果 ( ) 0 z 为函数 f z 的一个孤立奇点, 则沿 在z0的某个去心邻域0 z − z0 R 内包含 0 z 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分 C f (z)dz 的值除 2i 后所得的数称为 ( ) . 以 f z 在z0的留数