电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 特征函数与极限理论（4.5）中心极限定理

中心极限定理 注林德伯格列维定理有广泛应用,在 数理统计中处理大样本时,将独立同分布的 随机变量之和当作正态随机变量. 由林德伯格列维定理立即推得以下重 要定理: 定理452(棣莫佛拉普拉斯定理) 设{k},k=1,2相互独立,具有相同两 点分布的随机变量序列,且P(k=1)=P, P(k=0)=1-,则{}服从中心极限定理 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 注 林德伯格—列维定理有广泛应用，在 数理统计中处理大样本时，将独立同分布的 随机变量之和当作正态随机变量. 由林德伯格—列维定理立即推得以下重 要定理： 定理4.5.2 （棣莫佛—拉普拉斯定理） 设{ξk }，k =1,2…相互独立，具有相同两 点分布的随机变量序列，且 P(ξk =1)= p， P(ξk =0)=1−p, 则{ξk }服从中心极限定理

中心极限定理 ∑5k-∑E(5k) 即有 k=1 k=1 m ≤x}=p(x) n→0 ∑D5) k=1 注因mn=∑5~B(m,p) k: E(n)=∑E(5)=, k=1 D()=D(5k)=np(1-p), =1 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 ( ) ( ) ( ) lim 1 1 1 x Φ x D E P n k k n k k n k k n =                −    = = = →    即 有 注 因 ~ ( , ), 1 B n p n k n  k =  =  = = = n k E n E k np 1 ( ) ( ) , = = = − n k n k D D np p 1 ( ) ( ) (1 )

中心极限定理 得到棣莫佛拉普拉斯定理的等价形式: 定理214P105)设随机变量序列{n},n ~B(n,P),n=1,2. 对于任意的实数x,有 lim p nn-np ≤x}=φ(x) n np(1-p) 或imPx1≤-n-P <x2}=(x2)-(x) p(1-p) up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 定理2.1.4 (P105) 设随机变量序列{ ηn }，ηn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有 ( ) (1 ) lim x Φ x np p np P n n =          − − →  得到棣莫佛—拉普拉斯定理的等价形式： ( ) ( ) (1 ) lim 1 x2 Φ x2 Φ x1 np p np P x n n = −          − −  →  或

中心极限定理 着y~B(n,p),n足够大(p≥5,mp(1-p)≥5) 有 P{m1≤m≤m2 标准化 n-np lJm(-p)√mp(1-p)√mp(1-p) 2- M-np np(I-p) p(1-p) up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 若η~ B( n, p )， n足够大(np≥5, np(1−p) ≥5 ), 有 { } P m1   m2         − −  − −  − − = (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 np p m np np p np np p m np P          − − −         − −  (1 ) (1 ) 2 1 np p m np Φ np p m np Φ 标准化 ≈