多维特征函数 542多维随机变量的特征函数 、多维随机变量的特征函数 定义42.1n维随机向量(12,5的分布函 数为F(x1x2…x则它的特征函数为 q(1,t2,,tn)=Bl145++5 +tnn)dF( 19 9"n 电子科技大学
多维特征函数 电子科技大学 §4.2 多维随机变量的特征函数 一 、多维随机变量的特征函数 定义4.2.1 n维随机向量(ξ1 ,ξ2 ,…, ξn )的分布函 数为F(x1 ,x2 ,…,xn ),则它的特征函数为 ( , , , ) [ ] ( ) 1 2 1 1 n n j t t n t t t E e + + = ( , , ) ( ) 1 1 1 n n n dF x x j t x t x e − − + + =
多维特征函数 二维随机变量(21,2)的特征函数定义为 (t1t2)=Bp"45+252) POO j(1x+2y) 连续型 p(tu,t2) j(tx+t2y) f(x, y)dxdy 离散型 g(4,)=∑∑e4W rS 电子科技大学
多维特征函数 电子科技大学 + = r s r s t t e p t y xr j t ( , ) . , 1 2 1 2 ) s ( 离散型 二维随机变量(ξ1 ,ξ2 )的特征函数定义为 − − + + ( , ) = [ ] = ( , ) ( ( ) 1 2 ) 1 1 2 2 1 2 t t E e e dF x y j t t j t x t y 连续型 − − + t t = e f x y dxdy j t x t y ( , ) ( , ) ( ) 1 2 1 2
多维特征函数 性质421设二维随机变量(,2)的特征函 数为q(t,1刚则 1)g(0,0)=1,对任意f1,t2∈R,有 φ(t,2)≤q(0,0)=1; 2)gp(t1,t2)=9(-t1,-t2 3)g(1,t2)在实平面上一致连续 4)g(10)=q1(4),p,2)=92(t2) 电子科技大学
多维特征函数 电子科技大学 性质4.2.1 设二维随机变量(ξ1 ,ξ2 )的特征函 数为 ( ，则 , ) 1 2 t t φ( , ) φ(0,0) 1; 1) (0,0) 1, , , 1 2 1 2 = = t t 对任意t t R 有 2) ( , ) φ( , ); 1 2 1 2 t t = −t −t 3) (t 1 ,t 2 )在实平面上一致连续； 4) ( ,0) φ ( ), (0, ) ( ). 2 2 1 2 1 1 t t t t = =
多维特征函数 例42.12维正态随机变量的特征函数为 j(A1+p2t2)-(G+2 +2012rt1t2+022 qp(t1,t2)= 有;(1)=%,Dy,)∈尼 t,∈R ;,(t2)=p(,t2)=e juti 2<2 ,t2∈R 即有41~N(A1,a2)和2~N(2,a2) 正态随机变量的边缘分布也是正态分布 电子科技大学
多维特征函数 电子科技大学 例4.2.1 2维正态随机变量的特征函数为 ( 2 ) 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 ( , ) j t t t r t t t t t e + − + + = 1 2 2 (t ,t ) R t t e t R j t t = = − 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ,0) , 2 1 2 1 1 1 有 t t e t R j t t = = − 2 2 1 2 2 2 ( ) (0, ) , 2 2 2 2 2 2 即有 1 ~ N(1 , 1 2 )和 2 ~ N(2 , 2 2 )， 正态随机变量的边缘分布也是正态分布
多维特征函数 性质422设二维随机变量(1)的特征函 数为q(t1,t2则 1)随机变量(a1+b1,a252+h2)的特征函数为 j(tb +t2b2 q(1t1,a2t2) 2)则随机变量z=a51+b2+c的特征函数的特 征函数为 φz(t)=e(at,bt),t∈R 特别有 5+;(t)=0(t,t) 电子科技大学
多维特征函数 电子科技大学 性质4.2.2 设二维随机变量(ξ1 ,ξ2 )的特征函 数为 ( , 则 ), 1 2 t t 1）随机变量 (a1 1 + b1 ,a2 2 + b2 ) 的特征函数为 ( , ) 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) e a t a t j t b t b + 2）则随机变量Z=aξ1+bξ2+c 的特征函数的特 征函数为 φ (t) e φ(at,bt), t R. jtc Z = φ ( ) φ( , ) 1 2 t = t t + 特别有