泰勒中值定理：若f(x)在包含 xo的某开区间(a,b)内具有直到n +1阶的导数,则当 x E(α,b)时,有f"(xof(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo)2!(x- xo)"+ R,(x)n!c(n+1)())n+1其中R,(x)(x-Xo)(在xo与x之间)(n +1)!公式①称为f(x）的n阶泰勒公式公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项HIGH EDUCATION PRESS泰勒目录上页下页返回结束
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在 x 与x 之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
f"(xof(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo)+(x-xo2!n+()Xo)n+1(x - xo)XXo(n+1)!n!(在xo与x之间)特例：拉格朗日中值定理(1)当 n =0 时, 泰勒公式变为f(x)=f(xo) + f'(E)(x - xo)(在xo与x之间)(2)当 n=1 时,泰勒公式变为f(x) = f(xo)+ f'(xo)(x- xo)+X-X2(在Xo与x之间)可见f(x) = f(xo)+ f(xo)(x -xof"()误差R(x)=(在xo与x之间)(x-Xo）2!HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在 x 与x 之间) 0 ( 在 x 与x 之间) 0 ( 在 x 与x 之间 ) 0 ( 在 x 与x 之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束
xof(x)= f(xo) + f'(xo)(x -xo) +x-福(n+)()Xo(x-xo)n+1(x -Xo0n!(n+1)!(在xo 与x之间)注意到R,(x) =o[(x - xo)"]在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为Xof(x)= f(xo) + f(xo)(x -xo)X2!xo(x - xo)" +o[(x - xo)"]n公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano）余项HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在 x 与x 之间 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f