例题 例1计算积盼长 解多项式1十24在上半平面共有两个零点e是，e要，从而 +00 平=-ae到+中》 -00 e+e1= 2πi[ ，3π1 4 2
例题 例1 计算积分 ∞− +∞ d𝑥 1+𝑥4 ． 解 多项式 1 + 𝑧 4 在上半平面共有两个零点 𝑒 𝜋𝑖 4 ，𝑒 3𝜋𝑖 4 ，从而 න −∞ +∞ d𝑥 1 + 𝑥 4 = 2π𝑖 Res 1 1 + 𝑧 4 , 𝑒 𝜋𝑖 4 + Res 1 1 + 𝑧 4 , 𝑒 3𝜋𝑖 4 = − 2𝜋𝑖 4 𝑒 𝜋𝑖 4 + 𝑒 3𝜋𝑖 4 = 2𝜋 2 ．
半实数轴上的广义积分 定理设P(z),Q(z)为实系数多项式，且degP(z)+1<degQ(z)（deg表示多 项式的次数)，Q(z)在[0，+∞)上无零点，则如下广义积分收敛，且 +00 ∫ P(x) /P(z) (x) 此处logz=lnz+i0,这里0为取值在[0,2π)上的z的幅角，z1,,zn为Q(z) 在上半平面内的零点全体， 推广若要计算[a,+∞)上的积分，只需作积分变量替换y=x-a即可
半实数轴上的广义积分 定理 设 𝑃 𝑧 , 𝑄 𝑧 为实系数多项式，且 deg 𝑃 𝑧 + 1 < deg 𝑄 𝑧 （deg 表示多 项式的次数），𝑄 𝑧 在 [0, +∞) 上无零点，则如下广义积分收敛，且 න 0 +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 d𝑥 = − 𝑗=1 𝑛 Res 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 log 𝑧 , 𝑧𝑗 , 此处 log 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖𝜃，这里 𝜃 为取值在 [0,2𝜋) 上的 𝑧 的幅角，𝑧1 , … , 𝑧𝑛 为 𝑄 𝑧 在上半平面内的零点全体． 推广 若要计算 [𝑎, +∞) 上的积分，只需作积分变量替换 𝑦 = 𝑥 − 𝑎 即可．