意义1.极限符号可以与函数符号互换：2.变量代换(u= g(x)的理论依据log,(1 +x)例1求limx-0x解原式 = lim log.(1 +x)x-0= log,[lim(1 + x)* ] = logaInax-0x:x→0时,log.(1+x)~Ina
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2. ( ( )) . 变量代换 u g x = 的理论依据 例1 0 log (1 ) lim . a x x → x + 求 1 . lna = 1 0 lim log (1 ) x a x x → 原式 = + 1 0 log [lim(1 ) ] x a x x → = + loga = e 解 0 log (1 ) ~ ln a x x x a → + 时
例2求limx-0x解令 a*-1= y, 则x =log.(1+ y)当→0时,→0.1y原式=limlimIna.=1y-→0y-o log.(1+ y)loga(1 + y)..x→0时, a*-1~xlna
例 2 0 1 lim . x x a → x− 求 = ln . a 0 lim log (1 ) y a y → y = + 原式 解 1 , x 令 a y − = log (1 ), a 则 x y = + 当x → 0时, y → 0. 1 0 1 lim log (1 ) y y a y → = + 0 1 ~ ln . x → − x a x a 时
定理4 设函数y= f[g(x)由函数u= g(x)与函数=f(u)复合而成，U(x)Drog.若函数u=g(x)在x,点连续，且g(x)=uo，函数y=f(u)在点u,处连续,则复合函数y=f[g(x)在x点连续。注意定理4是定理3的特殊情况例如,u=二在(-00, 0)U(0, + 0)内连续,Xy = sinu 在(-o0, + oo)内连续: y = sin = 在(-o0, 0) U (0, + 0)内连续,X
定理4 0 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ ( )] f g y f g x u g x y f u U x D u g x x g x u y f u u y f g x x = = = = = = = 设函数 由函数 与函数 复合而成， ( ) .若函数 在 点连续,且 ,函数 在点 处连 续 则复合函数 在 点连续。 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 1 u ( , 0) (0, ) , x = − + 在 内连续 y = sinu 在(− , + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1 = sin 在 − + 内连续 x y