《线性代数》课程教学大纲 英文名称：Linear algebra 课程编号：68132105 学时：40 学分数：2.5 适用专业：工科各专业 一、课程的性质、目的和任务 《线性代数》是一门数学基础课，也是高等学校工科各专业的一门重要的公 共基础课。由于计算机科学的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散 化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科 学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。通过教学，使学生掌握线性代数 的基本知识和基本方法，使学生打下坚实的数学基础，提高学生的抽象思维能力、 逻辑推理能力，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步 学习后续课程及相关课程打好基础。 二、课程教学内容的基本要求、重点和难点 第一章行列式 1.1二阶与三阶行列式：了解二阶与三阶行列式的定义掌握用对角线法则计算 二阶与三阶行列式 1.2全排列及其逆序数：了解全排列及其逆序数的概念，会求全排列的逆序数 1.3n阶行列式的定义：理解n阶行列式的定义 1.4对换：了解对换的概念及性质 1.5行列式的性质：理解并掌握行列式的性质，能熟练地运用行列式的性质计 算数字行列式和文字行列式。 1.6行列式按行（列）展开：能熟练地运用行列式按一行（列）展开及行列式 的性质简化行列式的计算：会利用递推方法求一些特殊行列式的值。 1.7克拉默法则：掌握克拉默法则，并会运用该法则求解线性方程组
1 《线性代数》课程教学大纲 英文名称: Linear algebra 课程编号：68132105 学时：40 学分数： 2.5 适用专业：工科各专业 一、课程的性质、目的和任务 《线性代数》是一门数学基础课，也是高等学校工科各专业的一门重要的公 共基础课。由于计算机科学的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散 化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科 学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。通过教学，使学生掌握线性代数 的基本知识和基本方法，使学生打下坚实的数学基础，提高学生的抽象思维能力、 逻辑推理能力，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步 学习后续课程及相关课程打好基础。 二、课程教学内容的基本要求、重点和难点 第一章 行列式 1．1 二阶与三阶行列式:了解二阶与三阶行列式的定义 掌握用对角线法则计算 二阶与三阶行列式 1．2 全排列及其逆序数:了解全排列及其逆序数的概念，会求全排列的逆序数 1．3 n 阶行列式的定义:理解 n 阶行列式的定义 1．4 对换:了解对换的概念及性质 1．5 行列式的性质:理解并掌握行列式的性质，能熟练地运用行列式的性质计 算数字行列式和文字行列式。 1．6 行列式按行（列）展开:能熟练地运用行列式按一行（列）展开及行列式 的性质简化行列式的计算；会利用递推方法求一些特殊行列式的值。 1．7 克拉默法则:掌握克拉默法则，并会运用该法则求解线性方程组
重点：利用行列式的性质和按任一行（列）展开计算行列式 难点：行列式计算 第二章矩阵及其运算 2.1矩阵：理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角阵、对称阵等各种特殊矩阵的 定义： 2.2矩阵的运算：熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置等及其运算规律，弄 清矩阵运算与数字运算的差别： 2.3逆矩阵：理解逆矩阵的概念：掌握逆矩阵存在的条件与逆矩阵的基本运算 规律：熟练掌握矩阵求逆的方法并会用各种方法求逆矩阵（如利用伴随矩阵求逆 利用初等变换的方法求逆)：会利用逆矩阵求解矩阵方程 2.4矩阵分块法：理解矩阵分块的含义和目的，并会用分块矩阵运算律简化矩 阵的运算（尤其是乘积运算和求逆运算）。 重点：矩阵与矩阵的乘法运算、逆矩阵存在的条件及其求法。 难点：矩阵与矩阵的乘法运算、逆矩阵存在的条件及其求法、分块矩阵的乘法。 第三章线性方程组 3.1一3.2矩阵的初等变换与初等矩阵：熟练掌握三种初等变换及相应的初 等矩阵，了解初等变换与初等矩阵的关系：记住初等矩阵和初等变换的有关性质。 掌握利用初等变换求矩阵的逆，求解矩阵方程：会利用初等变换把矩阵化成与之 等价的标准形矩阵。 3.3矩阵的秩：掌握矩阵的K阶子式的概念：理解矩阵的秩的意义及矩阵的行 秩、列秩的关系：会求矩阵的秩。 3.4线性方程组的解：会用矩阵方程形式表示线性方程组：了解齐次线性方程 组和非齐次线性方程组解的几种情况：掌握线性方程组解的判断方法，会讨论带 有文字的齐次线性方程组何时有非零解、何时只有零解：非齐次线性方程组何时 无解、何时有唯一解、何时有无穷多解。掌握、理解基础解系的概念，能熟练地 求出方程组的基础解系和通解。 重点：矩阵的秩，掌握求方程组解的方法、齐次线性方程组有非零解的充要条 件及基础解系、非齐次线性方程组有解的充要条件。 难点：解的理论 第四章向量组的线性相关性
2 重点：利用行列式的性质和按任一行（列）展开计算行列式 难点：行列式计算 第二章 矩阵及其运算 2．1 矩阵:理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角阵、对称阵等各种特殊矩阵的 定义； 2．2 矩阵的运算:熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置等及其运算规律，弄 清矩阵运算与数字运算的差别； 2．3 逆矩阵:理解逆矩阵的概念；掌握逆矩阵存在的条件与逆矩阵的基本运算 规律；熟练掌握矩阵求逆的方法并会用各种方法求逆矩阵（如利用伴随矩阵求逆， 利用初等变换的方法求逆）；会利用逆矩阵求解矩阵方程 2．4 矩阵分块法:理解矩阵分块的含义和目的，并会用分块矩阵运算律简化矩 阵的运算（尤其是乘积运算和求逆运算）。 重点：矩阵与矩阵的乘法运算、逆矩阵存在的条件及其求法 。 难点：矩阵与矩阵的乘法运算、逆矩阵存在的条件及其求法、分块矩阵的乘法。 第三章 线性方程组 3．1 — 3．2 矩阵的初等变换与初等矩阵:熟练掌握三种初等变换及相应的初 等矩阵，了解初等变换与初等矩阵的关系；记住初等矩阵和初等变换的有关性质。 掌握利用初等变换求矩阵的逆，求解矩阵方程；会利用初等变换把矩阵化成与之 等价的标准形矩阵。 3．3 矩阵的秩:掌握矩阵的 K 阶子式的概念：理解矩阵的秩的意义及矩阵的行 秩、列秩的关系；会求矩阵的秩。 3．4 线性方程组的解:会用矩阵方程形式表示线性方程组；了解齐次线性方程 组和非齐次线性方程组解的几种情况；掌握线性方程组解的判断方法，会讨论带 有文字的齐次线性方程组何时有非零解、何时只有零解；非齐次线性方程组何时 无解、何时有唯一解、何时有无穷多解。掌握、理解基础解系的概念，能熟练地 求出方程组的基础解系和通解。 重点： 矩阵的秩，掌握求方程组解的方法、齐次线性方程组有非零解的充要条 件及基础解系、非齐次线性方程组有解的充要条件。 难点：解的理论 第四章 向量组的线性相关性
4.1向量组及其线性组合：掌握n维向量的定义以及向量运算规律，正确区分 向量运算与实数运算的差别。掌握向量组、线性组合、线性表示等概念： 4.2向量组的线性相关性：掌握向量组的线性相关、线性无关、极大无关组、 向量组的秩等概念：灵活运用相关定义及有关的定理和性质，结合矩阵、行列式 和线性方程组等有关知识来判断、证明向量组的线性相关性： 4.3向量组的秩：掌握向量组的秩的概念：会求给定向量组的秩 4.4线性方程组的解的结构：了解线性方程组的解的结构 4.5向量空间：了解向量空间及向量空间的基与维数等概念，会求过渡矩阵 重点：向量组的线性组合、线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组 的秩 难点：向量组的线性相关性的理解、判断和证明。 第五章相似矩阵及二次型 5.1向量的内积、长度及正交性：理解向量内积的概念，了解Schmidt正交化 方法 5.2方阵的特征值与特征向量：掌握特征值与特征向量的概念、性质及其求法。 5.3相似矩阵：理解矩阵相似的概念，弄清相似矩阵的特征值与特征向量的关 系。会判定一个矩阵能否对角化，并求相似矩阵P,使PAP为对角阵。 5.4对称矩阵的对角化：理解对称矩阵的性质，会求正交矩阵将实对称矩阵对 角化 5.5二次型及其标准形：掌握二次型的矩阵，标准形等概念，熟练掌握用正交 变换化二次型为标准形的方法。 5.6用配方法化二次型成标准形：了解拉格朗日配方法。 5.7正定二次型：理解正定矩阵的概念，掌握判定一个矩阵是否正定的方法， 了解正定矩阵的若干判定条件。会证明简单的有关正定性问题。 重点：求矩阵的特征值与特征向量，用正交变换化二次型为标准形。 难点：矩阵对角化问题，正定性的证明。 三、教学方式及学时分配
3 4．1 向量组及其线性组合: 掌握 n 维向量的定义以及向量运算规律，正确区分 向量运算与实数运算的差别。掌握向量组、线性组合、线性表示等概念； 4．2 向量组的线性相关性:掌握向量组的线性相关、线性无关、极大无关组、 向量组的秩等概念；灵活运用相关定义及有关的定理和性质，结合矩阵、行列式 和线性方程组等有关知识来判断、证明向量组的线性相关性； 4．3 向量组的秩:掌握向量组的秩的概念；会求给定向量组的秩。 4．4 线性方程组的解的结构:了解线性方程组的解的结构 4．5 向量空间:了解向量空间及向量空间的基与维数等概念，会求过渡矩阵 重点：向量组的线性组合、线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组 的秩。 难点：向量组的线性相关性的理解、判断和证明。 第五章 相似矩阵及二次型 5．1 向量的内积、长度及正交性:理解向量内积的概念，了解 Schmidt 正交化 方法 5．2 方阵的特征值与特征向量:掌握特征值与特征向量的概念、性质及其求法。 5．3 相似矩阵:理解矩阵相似的概念，弄清相似矩阵的特征值与特征向量的关 系。会判定一个矩阵能否对角化，并求相似矩阵 P，使 P -1AP 为对角阵。 5．4 对称矩阵的对角化:理解对称矩阵的性质，会求正交矩阵将实对称矩阵对 角化 5．5 二次型及其标准形:掌握二次型的矩阵，标准形等概念，熟练掌握用正交 变换化二次型为标准形的方法。 5．6 用配方法化二次型成标准形:了解拉格朗日配方法。 5．7 正定二次型: 理解正定矩阵的概念，掌握判定一个矩阵是否正定的方法， 了解正定矩阵的若干判定条件。会证明简单的有关正定性问题。 重点：求矩阵的特征值与特征向量，用正交变换化二次型为标准形。 难点：矩阵对角化问题，正定性的证明。 三、教学方式及学时分配
序 主要内容 主要教学方式学时分配 辅导答疑比例 号 第一章行列式 讲授 6 2:1 2 第二章矩阵及其运算 讲授 6 2:1 第三章线性方程组 讲授 6 2:1 第四章向量组的线性相关性 讲授 2:1 5 第五章相似矩阵及二次型 讲授 10 2:1 总复习 讲授 2 四、其它教学环节的要求 要求学生独立完成课后作业，交作业率和上课出勤率不低于80%，否则不允 许参加考试 五、本课程与其它课程的联系 本课程是数学基础课，无先修课：它是许多后继课，如计算方法、数理统计、 运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。 六、考核方式 平时动态考核与期末闭卷考试相结合，平时成绩占总评成绩30%，期末考试 成绩占总评成绩70% 七、使用教材与参考书目 1、使用教材：同济大学数学教研室编《线性代数》第五版高等教育出版社， 2、参考书目：北京大学数学系编《高等代数》第二版高等教有出版社 课程负责人：石琳 执笔：张景 审核：石琳
4 序 号 主要内容 主要教学方式 学时分配 辅导答疑比例 1 第一章 行列式 讲授 6 2：1 2 第二章 矩阵及其运算 讲授 6 2：1 3 第三章 线性方程组 讲授 6 2：1 4 第四章 向量组的线性相关性 讲授 10 2：1 5 第五章 相似矩阵及二次型 讲授 10 2：1 6 总复习 讲授 2 四、其它教学环节的要求 要求学生独立完成课后作业，交作业率和上课出勤率不低于 80%，否则不允 许参加考试 五、本课程与其它课程的联系 本课程是数学基础课，无先修课；它是许多后继课，如计算方法、数理统计、 运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。 六、考核方式 平时动态考核与期末闭卷考试相结合，平时成绩占总评成绩 30%，期末考试 成绩占总评成绩 70% 七、使用教材与参考书目 1、使用教材：同济大学数学教研室编《线性代数》第五版 高等教育出版社， 2、参考书目：北京大学数学系编《高等代数》第二版 高等教育出版社 课程负责人：石琳 执笔：张景 审核：石琳