内蒙古科技大学2006/2007学年第1学期 《线性代数》考试试题 课程号：100107考试方式：闭卷 使用专业、年级：2005级工科各专业 任课教师：刘兴薇，王娟，李德荣，翟丽丽，刘鹤 考试时间：2006年12月5日19：30 一、选择题（共5题，每题4分，共20） (1)若A和B为n阶方阵，则下列各式中成立的是() (A)(A+B)=42+24B+B (B)A(A+B)B=4B+AB2 (C)(A+B)(A-B)=A2-B(D)(A+BX(A2-AB+B2)=A+B (2)以下说法中错误的是() (A)若方阵A为正交矩阵，那么A一定是可逆矩阵 (B)若矩阵A和B的秩相等，则A一定可经过有限次初等变换 变为B (C)若矩阵A的行列式不等于零，那么A一定是可逆矩阵 (D)若矩阵A可经过有限次初等列变换变为矩阵B,则A与B 的秩一定相等 (3)下列向量组中线性相关的是() 1)000 (A) 0100 0010 (B) 0001
内蒙古科技大学 2006 /2007 学年第 1 学期 《线性代数》考试试题 课程号： 100107 考试方式： 闭卷 使用专业、年级：2005 级工科各专业 任课教师：刘兴薇，王娟，李德荣，翟丽丽，刘鹤 考试时间：2006 年 12 月 5 日 19：30 一、选择题（共 5 题，每题 4 分，共 20 ） （1）若 A 和 B 为 n 阶方阵，则下列各式中成立的是（ ） （A） 2 2 2 (A+ B A ) 2 = + + AB B （B） 2 2 A( ) A+ B B = + A B AB （C） 2 2 (A+ B)( ) A- B = - A B （D） 2 2 3 3 (A+ B)( ) A - AB + B = + A B （2）以下说法中错误的是（ ） （A）若方阵 A 为正交矩阵，那么 A 一定是可逆矩阵 （B）若矩阵 A 和 B 的秩相等，则 A 一定可经过有限次初等变换 变为 B （C）若矩阵 2 A 的行列式不等于零，那么 A 一定是可逆矩阵 （D）若矩阵 A 可经过有限次初等列变换变为矩阵 B，则 A 与 B 的秩一定相等 （3）下列向量组中线性相关的是（ ） （A） 1 0 0 0 0 100 , 0 0 1 0 0 0 0 1 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø （B） 4 1 2 2 , 2 , 1 3 1 1 æ ö æ ö æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø - 考 生 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 学 生 学 号：□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 学 生 姓 名：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . . . . . . . . . . . .
111 (D) 2 -1 -3 3 1 (4)若A和B均为n阶方阵，则下列各式成立的是( ) (A)4=4 (B)4+B=4+B (C)AA=E (D)AB=BA (5)下列矩阵中，不是正交矩阵的是() 2 2 0 (100 、1 、1 0 (A)010(B) 1 001 0 0 1 (1001 (C)0101 D √互 1 (0011 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） (1)已知A= cos0,那么14=气 cos0 -sin0 sin0 = (2)全排列135.(2n-1)24.(2nm)的逆序数为 ,且当n=10
（C） 1 7 2 7 3 , 9 , 10 , 4 5 8 11 2 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø （D） 1 1 1 1 1 2 1 4 , , , 2 3 1 5 3 1 2 11 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç- ÷ ç- - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø （4）若 A 和 B 均为 n 阶方阵，则下列各式成立的是（ ） （A） l l A A = （B） A+ B = + A B （C） AA E * = （D） AB = BA （5）下列矩阵中，不是正交矩阵的是（ ） （A） 100 010 001 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø （B） 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 æ ö ç ÷ - - - - è ø （C） 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø （D） 1 1 2 2 1 1 2 2 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ è ø 二、填空题（共 5 题，每题 4 分，共 20 分） （ 1 ） 已 知 cos sin sin cos A q q q q æ ö - = ç ÷ è ø ，那么 A = ， 1 A - = 。 （2）全排列135L L (2n n -1)24 (2 )的逆序数为 ，且当 n=10
时，该排列为 排列。 a ab b (3)行列式2aa+b2b的值为 1 1 N (4)已知向量组a,42,.,an线性相关，设A=(a,a2,an),则 方程组Ax=0的解的情况是 ,且矩阵A的秩 R(A)与n的大小关系是」 (5)已知a=(12-1),B=(372),则[a,b]= lall= 三、计算题（共6题，共60分） (1)计算下列行列式的值：(10分) 1 @/ ,其中未写出的元素都是0 a a -10.00 a -1.00 000.a-1 aaa.aa 101 (2)设A=020,且有AB+E=A+B,求B。(8分) (101 2x+y-z+w=1 (3)解非齐次线性方程组{4x+2y-2z+w=2,并求出该方程组 2x+y-2-w=1 所对应齐次线性方程组的基础解系。(10分》
时，该排列为 排列。 （3）行列式 2 2 2 2 111 a ab b a a + b b 的值为 。 （4）已知向量组 1 2 , , , n a a a L 线性相关，设 1 2 ( , , , ) A n = a a a L ，则 方程组 Ax=0 的解的情况是 ，且矩阵 A 的秩 R A( )与 n 的大小关系是 。 （5）已知 (1 2 1) T a = - ， (3 7 2) T B = ，则[a b, ] = ， a = 。 三、计算题（共 6 题，共 60 分） （1）计算下列行列式的值：（10 分） ① 1 1 a a O ，其中未写出的元素都是 0 ② 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a a a a a a a a - - - L L M M M O M M L L （2）设 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø ，且有 2 AB + E = + A B ，求 B。（8 分） （3）解非齐次线性方程组 2 1 4 2 2 2 2 1 x y z w x y z w x y z w ì + - + = ï í + - + = ï î + - - = ，并求出该方程组 所对应齐次线性方程组的基础解系。（10 分） 考 生 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 学 生 学 号：□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 学 生 姓 名：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . . . . . . . . . . . . . 装 . . . . . . . . . . . . . . . 订 . . . . . . . . . . . . . 线 . . . . . . . . . . . .
(2-)x+2x2-2x3=1 (4) 2x1+(5-元)x2-4x3=2 -2x-4x2+(5-1)x3=-元-1 问入取何值时方程组：①有唯一解，②无解，③有无穷多解，并 求出通解。(10分) ( (5)求向量组 个最大无关组，并把 2 0 4 不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。(10分) (6)求出一个正交变换，将二次型∫=2x2+3x+3x+4x,x化成 标准型。（12分)
（4） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (2 ) 2 2 1 2 (5 ) 4 2 2 4 (5 ) 1 x x x x x x x x x l l l l ì - + - = ï í + - - = ï î- - + - = - - 问l 取何值时方程组：①有唯一解，②无解，③有无穷多解，并 求出通解。（10 分） （5）求向量组 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 , , , , 2 0 3 1 3 1 1 0 4 1 æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç- ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø è ø - 的一个最大无关组，并把 不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。（10 分） （6）求出一个正交变换，将二次型 2 2 2 1 2 3 2 3 f = 2334 x x + + + x x x 化成 标准型。（12 分）