内蒙古科技大学考试标准答案及评分标准 课程名称：线性代数考试班级：2005级工科各专业 考试时间：2006年12月5日19时30分至21时30分标准制订人：刘鹤 课程号： 100107考试方式：闭卷 一、选择题（共5题，每题4分，共20） 1B(2B(3)C(4D(5C 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 2 有非零解（或有无限多解），R(4)<n(⑤)15，√6 三、计算题（共6题，共60分） a 1 1 =a(a-1)-a-a 1 a a- 1 ②将原行列式按第一列展开得： a-10.00 0a-1.00 D=非 :=aD1+a(-l)(-l)-=aDn1+a 000.a-1 aaa.aa 即可得到递推公式：aD-+a=D。 故Dn=aD-+a=aaD-2+a）+a=a2Dn2+a2+a =.=a"-2D2+a-2+.+a2+a=a"+a"-l+.a (2)解AB+E=A2+B→AB-B=A2-E→(A-E)B=AP-E A与E可交换→A-E=(A-E(A+E)
内蒙古科技大学考试标准答案及评分标准 课程名称：线性代数 考试班级：2005 级工科各专业 考试时间：2006 年 12 月 5 日 19 时 30 分至 21 时 30 分 标准制订人：刘鹤 课程号： 100107 考试方式： 闭卷 一、选择题（共 5 题，每题 4 分，共 20 ） ⑴B ⑵B ⑶C ⑷D ⑸C 二、填空题（共 5 题，每题 4 分，共 20 分） ⑴1， ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - q q q q sin cos cos sin ⑵ 2 n(n -1) ，奇排列 ⑶ 3 (a - b) ⑷有非零解（或有无限多解）， R(A) < n ⑸15， 6 三、计算题（共 6 题，共 60 分） ⑴解：① 1 2 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 - - = - = - - - n n n n a a a a a a a a r a r a a O O ②将原行列式按第一列展开得： aD a aD a a a a a a a a a D n n n n = n + - - = + - - - = - + - - 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 L L M M M M M L L 即可得到递推公式： aDn-1 + a = Dn 故 Dn = aDn- + a = a aDn- + a + a = a Dn- + a + a 2 2 2 1 2 ( ) a D a a a a a a = LL = n-2 2 + n-2 +LL+ 2 + = n + n-1 +LL ⑵解 AB + E = A + B Þ AB - B = A - E Þ A - E B = A - E 2 2 2 ( ) QA 与 E 可交换 ( )( ) 2 Þ A - E = A - E A + E
(201) 得：B=(A-E)'(A-E(A+E)=A+E=030 102 (21-111 0 3)解：(4，b)=42-212·→0 21-1 -1 0 000 设x2=C1,x=C2 (1) 原方程组的通解为：x=C +C 0 0 故原方程组对应齐次方程组的基础解系为： 0 J0 2-元2 -2 解：①若要求方程组有唯一解，则必有2 5-元-40 -2-45- →（入-1）2（入-10）≠0 故当入≠1且入≠10时方程组有唯一解 (-82-21） ②当元=10时(46)=2-5-42 -2-4-5-11 (0001 因为R(A)<R(A,b),故此时原方程组无解 (12-21 12-21 ③当入=1时，(4，b)=24-42 0000 -2-44-20000 因为R(A)=R(A,b)<3,故此时原方程组有无限多解
得： ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = - - + = + = - 1 0 2 0 3 0 2 0 1 ( ) ( )( ) 1 B A E A E A E A E ⑶解： ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - ¾¾® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1 ( , ) r A b 设 2 C1 x = ， 3 C2 x = 原方程组的通解为： ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - = 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 C1 C2 x 故原方程组对应齐次方程组的基础解系为： ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - 0 1 0 2 1 , 0 0 1 2 1 ⑷解：①若要求方程组有唯一解，则必有 0 2 4 5 2 5 4 2 2 2 ¹ - - - - - - - l l l ( 1) ( 10) 0 2 Þ l - l - ¹ 故当l ¹ 1且 l ¹ 10 时方程组有唯一解 ②当l = 10时 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - ¾¾® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - - = 0 0 0 1 0 1 1 1 2 5 4 2 2 4 5 11 2 5 4 2 8 2 2 1 ( , ) r A b 因为 R(A) < R(A,b) ，故此时原方程组无解 ③当l = 1时， ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - ¾¾® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - - = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 4 4 2 2 4 4 2 1 2 2 1 ( , ) r A b 因为 R(A) = R(A,b) < 3 ，故此时原方程组有无限多解
设x2=C,x=C,得原方程组通解为x -月日 解 (1122 10010 0215 0103-1 A=(adzas,aas)= 所以选择 203-13 001-11 1104-1 00000 a1,42,a为原向量组的一个最大无关组，且有 a4=a1+3a2-a3,a5=-a2+a3 (200 (6)解：由已知得，二次型所对应的对称矩阵为：A=032 (023 2-00 4-E=03-入2=-(-102-2-5)=0 023-1 所以矩阵A的特征值为入1=1，2=2,23=5 当入1=1时，(4-1E)=022 011 022000 1 0 特征向量为x=-1,单位化得 1 000 (010 当2=2时，(4-1E)=012 →001 02i000 1) 1 特征向量为x=C 0 单位化得0 0
设 2 C1 x = ， 3 C2 x = 得原方程组通解为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ- = 0 0 1 1 0 2 0 1 2 C1 C2 x ⑸解： ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - ¾¾® ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - = = 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 3 1 1 0 0 1 0 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 ( ) 1, 2, 3, 4, 5 r A a a a a a 所 以 选 择 1 2 3 a , a , a 为原向量组的一个最大无关组，且有 4 1 2 3 a = a + 3a - a ， 5 2 3 a = -a + a ⑹解：由已知得，二次型所对应的对称矩阵为： ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 0 2 3 0 3 2 2 0 0 A ( 1)( 2)( 5) 0 0 2 3 0 3 2 2 0 0 = - - - - = - - - - = l l l l l l A lE 所以矩阵 A 的特征值为 1 l1 = ， 2 l2 = ， 5 l3 = 当 l1 =1时， ( ) ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ¾¾® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 2 0 2 2 1 0 0 r A lE 特征向量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = - 1 1 0 x C ，单位化得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç è æ - 2 1 2 1 1 当 2 l2 = 时， ( ) ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ¾¾® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 2 0 0 0 r A lE 特征向量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 0 0 1 x C ，单位化得 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 0 0 1
(-300) 当入3=5时，（4-E)=0-22 099 02-2 000 (0 特征向量为x 单位化得 1 所以原二次型的标准型为=+2+5y好 0 1 0 所用的正交变换矩阵为P= 0 0 151万
当 5 l3 = 时， ( ) ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ¾¾® - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - = 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 2 0 2 2 3 0 0 r A lE 特征向量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 1 1 0 x C ，单位化得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç è æ 2 1 2 1 1 所以原二次型的标准型为 2 3 2 2 2 f = y1 + 2y + 5y 所用的正交变换矩阵为 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç è æ = - 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 1 0 P