内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准 课程名称：线性代数(A卷) 考试班级：2015级工科各专业 考试时间： 标准制订人： 一、填空题（每题3分） -1 0 0 1、负号2、 0 ,52 4、-155、 :9 0 02-1 二、选择题（每题3分》 A BB C D 三(10分)、解： 10-1+2 ta. 1 01 0-0 01 10分 四(10分)、解： 1 X=A-CB-= 10分 五(10分)、解： (2-1-112)11-214)10-104 =)}1-214 0-33-1-6 /0 1-103 4-62-24 0001-3 0001-3 36-979(00000 (00000 5分 于是原向量组秩为3，一1分可取4,4，a,为一个极大无关组，一1分 %=-%-%,%=4a+3a-3a4—3分 六(10分)
1 内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准 课程名称： 线性代数(A 卷) 考试班级：2015 级工科各专业 考试时间： 标准制订人： 一、填空题（每题 3 分） 1、负号 2、 1 4 3、 1 2 1 0 1 0 , 0 1 0 1 ξ ξ ⎛ ⎞ ⎛⎞ − ⎜ ⎟ ⎜⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ 4、-15 5、 31 0 12 2 02 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 二、选择题（每题 3 分） A B B C D 三（10 分）、解： 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 . 1 . 1 . 1 . 1 1 . 0 0 1 . 0 1 . . . . . . . . . . 1 1 0 . 1 0 0 . 1 n n in n i n n n i i n a a a aa a aa a aa a D a aa a = = + + + + − = = = =+ + − ∑ ∑ —— 10 分 四（10 分）、解： 1 1 1 29 1 9 2 2 4 3 11 1 1 5 12 9 0 2 2 2 X A CB − − ⎛⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − == = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − − − ⎝⎠ ⎝ ⎠ ——— 10 分 五（10 分）、解： 记 1 5 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 10 10 4 1 1 2 1 4 0 3 3 1 6 01 10 3 ( ,., ) ~ ~ 4 6 2 24 0 0 0 1 3 00 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 00 0 0 0 A α α ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ −− − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − − −− − = = −− − − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ − ———— 5 分 于是原向量组秩为 3，—— 1 分 可取 124 α , , α α 为一个极大无关组，—— 1 分 α3 12 =− − α α ， 5 124 α =+− 433 ααα —— 3 分 六（ 10 分）、 解：
21 令系数矩阵行列式111=0，解得1=1-2 —3分 11入 于是当1≠1且≠-2时，原方程组有唯一解。一3分 当入=-2时，系数矩阵的秩<增广矩阵的秩，故此时无解。一3分 当元=1时，系数矩阵的秩=增广矩阵的秩<3，故此时有无穷解，一3分 - 8 G4任取.—3分 七(10分) -1-1 0 解：由A-E= -22-0= 1-2,得=2=1,2=0，一3分 4 -21- 1 0) 当==1时，解(4-E)x=0,得基础解系P,=2P2=0 —3分 0) 1 1 当名=0时解=0，得基础解系)1 3分 2 101 取P=(p,P2,P)=201A=1则P可逆，且PAP=A 01-2 —3分 又A=PAP1,从而 A=PA"P-1= 八(10分) 1、因为(E-A(E+A+AP++A-)=E-=E, 所以(E-A)=E+A+A++A-1 —5分 2、设kB+kB,+kB=0
2 令系数矩阵行列式 1 1 1 10 1 1 λ λ λ = ,解得λ =1, 2− —— 3 分 于是当λ ≠ 1且λ ≠ −2 时，原方程组有唯一解。—— 3 分 当λ = −2 时，系数矩阵的秩<增广矩阵的秩，故此时无解。—— 3 分 当λ =1时，系数矩阵的秩=增广矩阵的秩< 3，故此时有无穷解，—— 3 分 通解为 1 21 2 3 1 11 1 00 0 10 x xc c x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ =++ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ， 1 2 c c, 任取. —— 3 分 七（10 分）、 解：由 2 1 10 2 2 0 (1 ) 4 21 A E λ λ λ λλ λ − − − = − − =− − − − ，得 12 3 λ = λ λ = = 1, 0 ，— 3 分 当 1 2 λ = = λ 1时，解( )0 A Ex − = ，得基础解系 1 2 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 p ， 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 p ，—— 3 分 当 3 λ = 0 时，解 Ax = 0，得基础解系 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 3 p ，—— 3 分 取 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = 0 1 2 2 0 1 1 0 1 ( , , ) 1 2 3 P p p p ， 1 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ Λ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，则 P 可逆，且 1 P AP − = Λ . —— 3 分 又 1 A PP− = Λ ，从而 1 10 1 1 1 1 0 1 1 0 20 1 1 4 21 2 2 0 01 2 0 2 10 4 21 n n A PP− ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = Λ = − =− ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −− ．—— 3 分 八（10 分） 1、因为 2 1 ( )( ) k k E AE A A A E A E − − ++ + + =− = " ， 所以 1 21 ( ) k EA EAA A − − − =++ + + " —— 5 分 2、设 11 2 2 33 kk k β ++= β β 0
则(k+k2+k)a1+(k2+k)%2+k=0 [k+k2+k=0 因为4，%2，线性无关，所以 k2+k3=0,k=k2=k3=0 k3=0 所以，B,B2,B,线性无关。—5分
3 则 1 2 3 1 2 3 2 33 ( )( ) 0 kkk kk k ++ + + + = α α α 因为 123 α , , α α 线性无关，所以 123 2 3 3 0 0 0 kkk k k k ⎧ + + = ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ = ， 123 kkk = = = 0 所以， 123 β , , β β 线性无关。—— 5 分