第六章定性和稳定性理论简介 本章主要介绍两部分内容，第一节给出零解的稳定性定义：第二节主要涉及二维方程组 的平衡点分类，稳定性以及极限环论引入 三节给出Liapunov函数的构造及其应用 s6.1零解稳定性定义 考虑方程组（或称系统） x'=化，)(6.1) 这里1∈R,∈GR”,(,)连续且保证方程组(6.)的解由初值所唯一确定，设 fu,0)=0 V1∈R,即下=0为方程组(6.1)的零解，通常称它为(6.1)的奇点。 进一步，当我们研究方程组(6.1)的特解=()邻近解的性态时，通常先做变换 =元-()把方程组(6.1)化为等价方程组 寸=g(4)(6.2) 这里u,)-fu,)-0=了u,+)-fu,),其中显然有 g(1,)=01∈R, 这样就把方程组(6.1)的特解=(1)变为方程组(62)的零解，于是问题化为讨论方程组(6.2) 零解的邻近解的性质。所以以后仅需讨论零解的性态即可。 例如，考虑一阶非线性方程 =2x-x (6.3) dt 方程有两个常数解x=0和x=2,对于x=2,可令y=x-2,这样有 少=女=-刘=-6+2沙 (6.4), dtdt 于是把方程(6.3)的特解x=2变为方程(6.4)的零解。 在前面假设下，给出方程组(6.1)的零解x=0在Liapunov意义下的稳定性。 定义1若e>0,总存在6=e,6)>0,使当下<6时，(6.1)满足(1o)=元的解 91,lo,xo）对一切121有， 1,a,)-0<e (6.5) 则称方程组(6.1)的零解稳定 定义2在方程组(6.1)的零解稳定的假设下，若存在。>0，使当<可。时，满足 (1。)=。的解p(1,lo,x。)对一切1≥1。有， 11
111 第六章 定性和稳定性理论简介 本章主要介绍两部分内容，第一节给出零解的稳定性定义；第二节主要涉及二维方程组 的平衡点分类，稳定性以及极限环论引入；第三节给出 Liapunov 函数的构造及其应用。 §6.1 零解稳定性定义 考虑方程组（或称系统） x f t,( x) v v v ′ = (6.1) 这里 t R, x G R , f t,( x) n v v v ∀ ∈ ∀ ∈ ⊆ 连续且保证方程组(6.1)的解由初值所唯一确定，设 f t )0,( = 0 ∀t ∈ R v v v ，即 0 v v x = 为方程组(6.1)的零解，通常称它为(6.1)的奇点。 进一步，当我们研究方程组(6.1)的特解 y ϕ(t) v v = 邻近解的性态时，通常先做变换 y x ϕ(t) v v v = − 把方程组(6.1)化为等价方程组 y g t,( y) v v v ′ = (6.2) 这里 g t,( y) f t,( x) ϕ (t) f t,( y ϕ(t)) f t,( ϕ(t)) v v v v v v v v v v = − ′ = + − ，其中显然有 g t y t R ( , ) 0 = ∀ ∈ v v v ， 这样就把方程组(6.1)的特解 y ϕ(t) v v = 变为方程组(6.2)的零解，于是问题化为讨论方程组(6.2) 零解的邻近解的性质。所以以后仅需讨论零解的性态即可。 例如，考虑一阶非线性方程 2 2x x dt dx = − (6.3) 方程有两个常数解 x = 0和 x = 2 ，对于 x = 2 ，可令 y = x − 2 ，这样有 x( ) ( ) x y y dt dx dt dy = = 2 − = − + 2 (6.4)， 于是把方程(6.3)的特解 x = 2 变为方程(6.4)的零解。 在前面假设下，给出方程组(6.1)的零解 0 v v x = 在 Liapunov 意义下的稳定性。 定义 1 若∀ε > 0，总存在 ( , ) 0 δ = δ ε t 0 > ，使当 x0 < δ v 时，(6.1)满足 0 0 x(t ) x v v = 的解 ,( , ) 0 0 ϕ tt x 对一切 0 t ≥ t 有， ϕ ,( , ) − 0 < ε 0 0 v v v tt x (6.5) 则称方程组(6.1)的零解稳定. 定义 2 在方程组(6.1)的零解稳定的假设下，若存在 0 δ 0 > ，使当 0 < δ 0 x v 时，满足 0 0 x(t ) x v v = 的解 ,( , ) 0 0 ϕ tt x 对一切 0 t ≥ t 有
lim1,o,)=0 则称零解元=0渐近稳定。 注】当方程组(6.1)的零解为渐近稳定时，总存在一个包含x=0的区域D。,使得当 无。∈D时，满足()=元，的解g1,lo,xo)均有lim1,lo,)=0,此时称区域D。为(6.1) 零解的吸引域。特别若D。=R”,即当6。=+∞时，则称(6.1)的零解为全局渐近稳定。 定义3若方程组(6.1)的零解不是稳定的，则称零解是不稳定的。即3E。>0,不管8>0怎 样小，或满足<6，使得6.1)满足()=。的解，)至少在某时刻1，>1。有 %1,o,无川=￡成立. 例1试判断一阶非线性方程 解x=0和x=2的稳定性 解对于解x=0,设满足初始条件x(O)=x。(x。≠0,2)的解为x=p1,0,x),用变 量分离方法可求得特解为 2 x= +2- x 取6=弓不论6>0多小，不结设0<6<1，取无-号显然满足K58,存在 1 38 侵-方6·圆t定义知零郴不定。 2 对于解x=2,令y=x-2,有 9=女=-0+2 d dt 则将原方程解x=2的稳定性问题转化为判断上方程的零解稳定性问题。设满足初始条件 0)=。≠0，-2)的解记为y=1,0,),用变量分离方法可求得此解为 2e 2'o y0.+2-%e0+2y2-y 计算有 112
112 lim ,( 0 , 0 ) 0 v v v = →+∞ tt x t ϕ 则称零解 0 v v x = 渐近稳定。 注 1 当方程组(6.1)的零解为渐近稳定时，总存在一个包含 0 v v x = 的区域 D0 ，使得当 0 D0 x ∈ v 时，满足 0 0 x(t ) x v v = 的解 ,( , ) 0 0 ϕ tt x 均有 lim ,( 0 , 0 ) 0 v v v = →+∞ tt x t ϕ ，此时称区域 D0 为(6.1) 零解的吸引域。特别若 n D0 = R ，即当δ 0 = +∞ 时，则称(6.1)的零解为全局渐近稳定。 定义 3 若方程组(6.1)的零解不是稳定的，则称零解是不稳定的。即 0 ∃ε 0 > ，不管δ > 0怎 样小， 0 x v ∃ 满足 x0 < δ v ，使得(6.1)满足 0 0 x(t ) x v v = 的解 ,( , ) 0 0 tt x v v ϕ 至少在某时刻 1 0 t > t 有 ϕ( ) = ε 1 0 0 t ,t , x v v 成立. 例 1 试判断一阶非线性方程 2 2x x dt dx = − 解 x = 0和 x = 2 的稳定性 解 对于解 x = 0，设满足初始条件 )0( ( )2,0 x = x0 x0 ≠ 的解为 ,0,( ) 0 x = ϕ t x ，用变 量分离方法可求得特解为 t e x x 2 0 1 2 1 2 − + − = 。 取 , 2 1 ε 0 = ，不论δ > 0 多小，不妨设 0 < δ < 1 ，取 2 0 δ x = ，显然满足 x0 < δ ，存在 0 4 3 ln 2 1 1 > − = − δ δ t ，有 0 2 0 2 1 1 2 1 2 1 = = ε + − − t e x ，因此由定义 3 知零解不稳定。 对于解 x = 2 ，令 y = x − 2 ，有 = = −y( ) y + 2 dt dx dt dy ， 则将原方程解 x = 2 的稳定性问题转化为判断上方程的零解稳定性问题。设满足初始条件 )0( ( ,0 2) y = y0 y0 ≠ − 的解记为 ,0,( ) 0 y = ϕ t y ，用变量分离方法可求得此解为 ( ) ( ) 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 2 2 2 y e y y y y e y e y t t t + − = + − = − − 。 计算有
y0)= -4y0y。+2e24 (,+2e2-月 则当0<。<1时，有y<0 1>0:当-2<。<0时，有y0>0>0. 因此e>0,38=min(2,e),当ya<6时，恒有pt,0,y<e。进一步，有 1imp1,0,%)=0,于是方程的零解为渐近稳定.同时D,0)=y。>0儿U儿-2<。<0} 为吸引域。因此对于原方程而言，特解x=2为渐近稳定的且吸引域为 D(x)={x。>2U0<x0<2. S62二维系统的定性分析 本节主要讨论相平面上两部分内容：一是线性系统奇点的分类：二是简介极限环的一些基 本理论。 考虑二维非自治系统 =P收 d (6.6) 少=Qx,y0 这里系统右端的函数均具有连续偏导数，这时方程组满足解的存在唯一性和连续性定理的条 件，其解在以1，x,y为坐标的空间R中确定了一条积分曲线。此时空间的每一点都有一条 且只有一条积分曲线经过。 定义4若把时间1当作参数，仅考虑x,y为坐标的平面R2,则称此平面为系统(6.6)的相平 面。同时称在相平面中系统的解所描术的曲线称为轨线 系统6.6的积分曲线与轨线是两个不同的定义， 不能混。尤其要注意系统在空间的 结1森秦肌有一条秘分安命过。而在相平面的一个可度有不积一条钱线 考虑二维自治系统 密e) (6.7刀 这里系统右端的函数均具有连续偏导数。 定X5布在==广满起代黄方强低别上。则张为方6 的奇点。 显监6的备点是其常数解，注盒到、成者有会一老 (P(x,y)≠0)，或者有 13
113 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 0 2 4 2 y e y y y e y t t t + − − + ′ = ， 则当0 1 < y0 < 时，有 y′(t) < 0 ∀t > 0；当 2 0 − < y0 < 时，有 y′(t) > 0 ∀t > 0。 因 此 ∀ε > ,0 ∃δ = min( ,2 ε ) ， 当 y0 < δ 时 ， 恒 有 ϕ ,0,( ) < ε 0 t y 。 进 一 步 ， 有 lim ( ,0, ) 0 0 = →+∞ t y t ϕ ，于是方程的零解为渐近稳定。同时 D0 ( y0 ) = {y0 > 0}U{− 2 < y0 < 0} 为 吸 引 域 。 因 此 对 于 原 方 程 而 言 ， 特 解 x = 2 为 渐 近 稳 定 的 且 吸 引 域 为 D0 (x0 ) = {x0 > 2}U{0 < x0 < 2}。 §6.2 二维系统的定性分析 本节主要讨论相平面上两部分内容：一是线性系统奇点的分类；二是简介极限环的一些基 本理论。 考虑二维非自治系统 ( ) ( ) = = Q x y t dt dy P x y t dt dx , , , , (6.6) 这里系统右端的函数均具有连续偏导数。这时方程组满足解的存在唯一性和连续性定理的条 件，其解在以t, x, y 为坐标的空间 3 R 中确定了一条积分曲线。此时空间的每一点都有一条 且只有一条积分曲线经过。 定义 4 若把时间t 当作参数，仅考虑 x, y 为坐标的平面 2 R ，则称此平面为系统(6.6)的相平 面。同时称在相平面中系统的解所描述的曲线称为轨线。 注 2 系统(6.6)的积分曲线与轨线是两个不同的定义，不能混淆。尤其要注意系统在空间的 每一点都有一条且只有一条积分曲线经过，而在相平面的一个点可能有不只一条轨线经过。 考虑二维自治系统 ( ) ( ) = = , , , , Q x y dt dy P x y dt dx (6.7) 这里系统右端的函数均具有连续偏导数。 定义 5 若存在 * * x = x , y = y ，满足代数方程组 ( ) ( ) = = , 0 , 0 Q x y P x y ，则称点( ) * * x , y 为方程组(6.7) 的奇点。 显然(6.7)的奇点是其常数解。注意到，或者有 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = P x y ≠ P x y Q x y dx dy ，或者有
dx p(x,y) dy o(x.y) (Q(x,y)≠0)，此时这两个方程的右端函数也具有连续偏导数，因而 满足解的存在唯一性和连续性定理的条件，于是在x,y平面上除奇点外每一点有且只有 dyor,y) dx p(x,y) (P川0)或在=Py dy o(x.y) (Qx,y)≠0)的一条积分曲线经 过，而这些积分曲线有一一对应方程组(6.7)在相平面上轨线，因此在相平面上除奇点外每一 点，都有一条且只有一条轨线经过。 1.二维线性系统奇点的分类 在高等代数理论中，任一个2阶矩阵，总可以经过实的相似变换化为矩阵B,B有以下 三种之一 66( 具体做法如下： E-小-22-6+a-的06e 记p=-(a+d),q=ad-bc,则此方程的两个根为 42=-p±D2-4g (6.9). 不4限人820，阳风贰2当 c0时P=2)期得p4P-仔刘月 若名辆个时起，国A-元：s:0r一乱产4c0t P-0:小计#将户4r-6当6=c=0味新名=a=d,此 若，2为两个共轭复根，记元2=a±所(B>0),当b≠0时，令
114 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = Q x y ≠ Q x y P x y dy dx ，此时这两个方程的右端函数也具有连续偏导数，因而 满足解的存在唯一性和连续性定理的条件，于是在 x, y 平面上除奇点外每一点有且只有 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = P x y ≠ P x y Q x y dx dy 或 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , , = Q x y ≠ Q x y P x y dy dx 的一条积分曲线经 过，而这些积分曲线有一一对应方程组(6.7)在相平面上轨线，因此在相平面上除奇点外每一 点，都有一条且只有一条轨线经过。 1．二维线性系统奇点的分类 在高等代数理论中，任一个 2 阶矩阵，总可以经过实的相似变换化为矩阵 B ， B 有以下 三种之一 (i) µ λ 0 0 (ii) λ λ 0 1 (iii) − β α α β . 具体做法如下： 设 = c d a b A ，其特征方程为 det( ) ( ) ( ) 0 2 = − + + − = − − − − − = a d ad bc c d a b E A λ λ λ λ λ (6.8)， 记 p = −(a + d ), q = ad − bc ，则此方程的两个根为 2 4 2 2,1 − p ± p − q λ = (6.9)。 若 1 2 λ ,λ 为不同实根，即 λ1 ≠ λ2 ，当b ≠ 0 时，令 ( ) − − − − = 1 2 2 1 1 λ λ λ d d λ b b b P ；当 c ≠ 0 时，令 ( ) − − − − = c c a a c P 2 1 1 2 1 λ λ λ λ ，则计算得 = − 2 1 1 0 0 λ λ P AP 。 若 1 2 λ ,λ 为两个相同实根，即λ1 = λ2 ，当b ≠ 0时，令 − = 1 1 0 d λ1 b b P ；当c ≠ 0 时， 令 − = 0 1 1 c a c P λ ，计算得 = − 1 1 1 0 0 λ λ P AP 。当b = c = 0时，则有λ1 = a = d ，此 时 A 已经成为 1 1 0 0 λ λ 。 若 1 2 λ ,λ 为两个共轭复根，记 ( 0) λ 2,1 = α ± βi β > ，当b ≠ 0时，令
P动小c0,p减购 n- 下面计算相应的expB1 na-6小是-中3路 0数后} 回当86刘时，起a-后代-4+8，从面4=a4且 8-00 p-p4-) 因面em=(p4即，计算时=rQ0Q0-gE, e即=即4(e(6XmA}(A】 对于二维线性系统 y (6.10) =a+d 这里aAc,d为落数。且假设它们满足≠0 c d 115
115 − − = β β d α b b P 1 0 ；当c ≠ 0 时，令 − − = c a c P 0 1 β α β ，则计算得 − = β α α β PAP 。 下面计算相应的exp Bt . (i)当 = µ λ 0 0 B 时，这是一个对角矩阵，因此有 = t t e e Bt µ λ 0 0 exp ； (ii) 当 = λ λ 0 1 B 时 ， 记 1 1 0 0 0 1 0 0 B = A + B + = λ λ ， 从 而 A1B1 = B1A1 且 = 0 0 0 0 0 0 0 1 2 ，则 ( ) ( ) = + = ⋅ = 0 1 1 0 0 0 1 0 0 exp exp exp 2 2 2 1 1 t E t e e e Bt A t B t t t t ； (iii)当 − = β α α β B 时，记 1 1 0 0 0 0 B = A + B − + = β β α α ，可知有 A1B1 = B1A1 ， 因 而 Bt ( A t) ( B t) 1 1 exp = exp ⋅ exp ， 计 算 B E 2 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 β = −β − − = ， − = − 1 0 0 1 3 3 B1 β ， B E 4 4 1 = β ，于是有 ( ) ( ) − = − = ⋅ = t t t t e t t t t e e Bt A t B t t t t β β β β β β β β α α α sin cos cos sin sin cos cos sin 0 0 exp exp 1 exp 1 。 对于二维线性系统 = + = + cx dy dt dy ax by dt dx (6.10) 这里a,b, c, d 为常数，且假设它们满足 ≠ 0 c d a b