《解析几何》课程授课教案（讲义）第三章 常见曲面

第三章常见曲面 §3.1球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点M(,半径为R≥0的球面方程。根据以下充分必要条件 M(x,y,)在球面上一MoM=R, 型 (x-x)}+(0-%)2+(-)2=R2 (3.1) 展开得 x2+y2+z2+2bx+2by+2b:+c=0, (3.2) 其中，么=-,么=-%4=-c=x2+2+2-R。(3.1)或3.2)就是所求球面方 程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(x以x,上项)，平方项的系数相同。反之，任一形 如(3.2)的方程经过配方后可写成： (x+)2+(y+b)2+(e+b)2+c-b2-b,2-b2=0. 当b2+b,2+b2>c时，它表示一个球心在（仁b,-b,-b),半径为2+b2+b2-c的 球面：当b2+b,2+b2=c时，它表示一个点(b-b2,-b):当b2+b,2+b2<c时，它 没有轨迹（或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R,在球面上任取一点M(x,y,),从M作xOy面的垂线，垂 足为N,连OM,ON。设x轴到ON的角度为0，ON到OM的角度为B(M在xOy面 上方时，0为正，反之为负)，则有 [x=Rcosecoso, y=Rcosesino, 0sp<2-号s0s号 (3.3) =Rsin0, (3.3)称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，有两个参数Q,0,其中0称为经度

1 第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z ，半径为 R  0 的球面方程。根据以下充分必要条件 M x y z ( , , ) 在球面上  = M M R 0 ， 得 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R − + − + − = ， （3.1） 展开得 2 2 2 1 2 3 x y z b x b y b z c + + + + + + = 2 2 2 0, （3.2） 其中， 2 2 2 2 1 0 2 0 3 0, 0 0 0 b x b y b z c x y z R = − = − = − = + + − , , 。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方 程，它是一个三元二次方程，没有交叉项( xy, xz, yz 项),平方项的系数相同。反之，任一形 如（3.2）的方程经过配方后可写成： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 x b y b z b c b b b + + + + + + − − − = 0 ， 当 b +b +b  c 2 3 2 2 2 1 时，它表示一个球心在 ( ) 1 2 3 −b ,−b ,−b ，半径为 b +b +b −c 2 3 2 2 2 1 的 球面；当 b +b +b = c 2 3 2 2 2 1 时，它表示一个点 ( ) 1, 2 3 −b −b ,−b ；当 b +b +b  c 2 3 2 2 2 1 时，它 没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2 球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为 R ，在球面上任取一点 M(x, y,z) ,从 M 作 xOy 面的垂线，垂 足为 N ，连 OM ON , 。设 x 轴到 ON 的角度为  ，ON 到 OM 的角度为  ( M 在 xOy 面 上方时，  为正，反之为负)，则有 cos cos , cos sin , 0 2 , . 2 2 sin , x R y R z R            =   =   −     = （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为 R 的球面的参数方程，有两个参数 , ，其中  称为经度

日称为纬度。球面上的每一个点（除去它与：轴的交点）对应唯一的对实数(0，)，因此(0，) 称为球面上点的曲纹坐标。 生1香和-ae的2n0号引考a0)g于-0 表示经 过：轴的半平面与球面的交线-一半个大圆，(3.3)是该半个大圆的直角坐标的参数方程， p=风∈020[受引]是该半平面的球面坐标方起：若0=风e0),pR, 则a3)等价于r+y广=Rcos ,表示以：轴为对称轴的圆柱面x2+y2=R2cos20 (=Rsin0 与平面：=Rsin0的交线-半径为Rcos0的圆，(3.3)是该圆的直角坐标的参数方程，而 方程0=6，∈0，π/2)的常数，oeR是该圆的球面坐标方程。 因为空间中任一点M(x,y,)必在以原点为球心，以R=OM为半径的球面上，而球 面上点（除去它与：轴的交点外）又由它的曲纹坐标（日，）唯一确定，因此，除去z轴外， 空间中的点M由有序三元实数组(RO,p)唯一确定。我们把(R,0,p)称为空间中点W的球 面坐标（或空间极坐标.其中R≥0，-受≤0≤号05≤2点M的球面坐标化8可） 2 与M的直角坐标(x,y,)的关系为 [x=Rcos0coso, R20, (3.4) ==Rsin0. p∈[0,2π) 注2在(3.4)中，若R=a>0常数，0∈ pe[0,2),则(3.40台x2+y2+z2=ad [x=. 台{y=Rcos0sinp,0 [ππ 22 (*),表示以原点为球心，以a为半径的球面，(*) z=Rsin0,p∈[0,2π) 是该球面的直角坐标的参数方程，R=a>0是该球面的球面坐标方程；若 p=%∈[0,2π)，R≥0,0∈[0，π/2)，则(3.4)等价于直角坐标方程

2  称为纬度。球面上的每一个点(除去它与 z 轴的交点)对应唯一的对实数 (,) ，因此 (,) 称为球面上点的曲纹坐标。 注 1 若 0 [0,2 ), , 2 2         =   −    ，则（3.3）等价于 0 0 2 2 2 2 sin cos 0 x y x y z R    − =   + + = ，表示经 过 z 轴的半平面与球面的交线-半个大圆，（3.3）是该半个大圆的直角坐标的参数方程， 0 [0,2 ), , 2 2         =   −    是该半平面的球面坐标方程；若 0    = [0, 2) ，  R ， 则（3.3）等价于 2 2 2 2 cos sin x y R z R    + =   = ，表示以 z 轴为对称轴的圆柱面 2 2 2 2 x y R + = cos  与平面 z R= sin 的交线-半径为 Rcos 的圆，（3.3）是该圆的直角坐标的参数方程，而 方程 0    = [0, 2) 的常数，   R 是该圆的球面坐标方程。 因为空间中任一点 M(x, y,z) 必在以原点为球心，以 R OM = 为半径的球面上，而球 面上点（除去它与 z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标 (,) 唯一确定，因此，除去 z 轴外， 空间中的点 M 由有序三元实数组 (R,,) 唯一确定。我们把 (R,,) 称为空间中点 M 的球 面坐标（或空间极坐标），其中 R  0， ,0 2 2 2   −        。点 M 的球面坐标 (R,,) 与 M 的直角坐标 (x, y,z) 的关系为 cos cos , 0, cos sin , - , , 2 2 sin , [0,2 ) x R R y R z R            =       =         =  （3.4） 注2在（3.4）中，若 R a =  0 常数， - , , [0, 2 ) 2 2              ，则（3.4） 2 2 2 2  + + = x y z a cos cos , cos sin , - , 2 2 sin , [0,2 ) x R y R z R            =      =          =  （*），表示以原点为球心，以 a 为半径的球面，（*） 是 该 球 面 的 直 角 坐 标 的 参 数 方 程 ， R a =  0 是 该 球 面 的 球 面 坐 标 方 程 ； 若 0    = [0,2 ) ， R   0, [0, 2)   ， 则 （ 3.4 ）等价于直角坐标方程

sinx-ycos%=0,表示经过：轴的半平面， =Rsin0, 平面的直角坐标的参数方程，方程p=%,∈[0,2π)是该半平面的球面坐标方程：若 0=0∈[0，π/2)的常数，R≥0，p∈[0,2π)，则(3.4)等价于直角坐标方程 x2+y2=z2an20,这是关于x,八，：的三元二次方程，表示以原点为顶点的半圆锥面， x=Rcos0cos0,R≥0 y=Rcoseo sin, 是该半圆锥面的直角坐标的参数方程，而方程0=A∈[0，π/2) ==Rsin0,oE[0.2) 是该半圆锥面的球面坐标方程。 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程(3.2)和球面的参数方程(3.3)看到，一般来说，曲面的普通方程是一 个三元方程Fx,y,:)0,曲面的参数方程是含有两个参数的方程： x=x(4,v), y=(以， a≤u≤b,c≤v≤d, (3.5) 2=(u,v, 其中，对于(u,)的每一对值，由(3.5)确定的点(：，)在此曲面上：而此曲面上任一点 的坐标都可由(u,)的某一对值(3.5)表示。于是通过曲面的参数方程(3.5)，曲面上的 点（可能要除去个别点）使可以由数对（山，）来确定，因此(4，y)称为曲面上的曲纹坐标。 空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立： F(xy,z)=0, G(x,)=0 即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线。曲线的参数方程是含有一个参数的方程： x=x1)3 {y=y), a≤1≤b. (3.6) 2=() 其中，对于(a≤1≤b)的每一个值，由(3.6)确定的点(x,y,)在此曲线上，而此曲线上 任一点的坐标都可由1的某个值通过(3.6)表示。 3

3 0 0 sin cos 0   x y − = ，表示经过 z 轴的半平面， 0 0 cos cos , cos sin , - , 2 2 sin , x R y R z R          =      =         = 是该半 平面的直角坐标的参数方程，方程 0    = [0,2 ) 是该半平面的球面坐标方程；若 0    = [0, 2) 的常数 ， R   0, [0,2 )   ，则（ 3.4 ） 等 价 于 直 角 坐 标 方 程 2 2 2 2 0 x y z + = tan  ，这是关于 x y z , , 的三元二次方程，表示以原点为顶点的半圆锥面， 0 0 0 cos cos , 0 cos sin , sin , [0,2 ) x R R y R z R         =    =   =  是该半圆锥面的直角坐标的参数方程，而方程 0    = [0, 2) 是该半圆锥面的球面坐标方程。 1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一 个三元方程 F(x, y,z) =0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： ( , ), ( , ), , , ( , ), x x u v y y u v a u b c v d z z u v  =   =       = （3.5） 其中，对于 (u,v) 的每一对值，由（3.5）确定的点 (x, y,z) 在此曲面上；而此曲面上任一点 的坐标都可由 (u,v) 的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的 点（可能要除去个别点）便可以由数对 (u,v) 来确定，因此 (u,v) 称为曲面上的曲纹坐标。 空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立： ( , , ) 0, ( , , ) 0. F x y z G x y z  =   = 即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线。曲线的参数方程是含有一个参数的方程： ( ), ( ), , ( ), x x t y y t a t b z z t  =   =     = （3.6） 其中，对于 t(a  t  b) 的每一个值，由（3.6）确定的点 (x, y,z) 在此曲线上，而此曲线上 任一点的坐标都可由 t 的某个值通过（3.6）表示

例1球面x2+y2+z2=R2与xOy平面相交所得的圆的普通方程为： x2+y2+2=R2 二=0. 而这个圆的参数方程是： [x=Rcoso, y=Rsino,0≤p≤2π 2=0 例2如果空间一点从A(a,0,0)出发，一方面在圆柱面x2+y2=a2上以角速度0绕： 轴旋转，同时又以线速度v沿平行：轴的正方向上升（其中，都是常数），其中y%=b 那么点M构成的图形叫做螺旋线（圆柱螺线），试建立其参数方程。 解：设1秒后点从A(a,0,0)运动到M(x,y,),不妨设M是第一卦限的点，设 B(x,y0),C(x,0,0)分别是M在xOy坐标面上和x轴上的投影点，则 ∠OBM=π/2，∠COB=a,OB=a,BM=W,所以 OM=OC+CB+BM=acosote+asin ote:+vtes =(acosot,asin@t,vt)=(acosot,asin t,0)+(0,0,vt), 显然这是点绕：轴作角速度为)的圆周运动与该点沿：轴方向作线速度为的直线运动的 合成。令O=,又因为v=b@,所以圆柱螺线的坐标式参数方程为 [x=acos0=acoso y=asin0=asin,0∈R, =60=bot 向量式参数方程为r(0)=(acos,asin0,b),0∈R。 1.4旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。 一、旋转面的定义 定义3.1一条曲线「上每个点M。绕I旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过1的 半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。 二、旋转面的方程的求法 旋转面母线方程为一般方程时，旋转面的方程的求法 4

4 例 1 球面 x y z R 与xOy 2 2 2 2 + + = 平面相交所得的圆的普通方程为： 2 2 2 2 , 0. x y z R z  + + =   = 而这个圆的参数方程是： cos , sin , 0 2 . 0 x R y R z      =   =     = 例 2 如果空间一点从 A a( ,0,0) 出发，一方面在圆柱面 2 2 2 x y a + = 上以角速度  绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行 z 轴的正方向上升（其中 ,v 都是常数），其中 v b  = ， 那么点 M 构成的图形叫做螺旋线（圆柱螺线），试建立其参数方程。 解：设 t 秒后点从 A a( ,0,0) 运动到 M x y z ( , , ) ，不妨设 M 是第一卦限的点，设 B x y C x ( , ,0), ( ,0,0) 分别是 M 在 xoy 坐 标 面 上 和 x 轴 上 的 投 影 点 ， 则  =  = = = OBM COB t OB a BM vt   2, , , ，所以 cos sin 1 2 3 ( cos , sin , ) ( cos , sin ,0) (0,0, ), OM OC CB BM a te a te vte a t a t vt a t a t vt       = + + = + + = = + 显然这是点绕 z 轴作角速度为  的圆周运动与该点沿 z 轴方向作线速度为 v 的直线运动的 合成。令  = t ，又因为 v b =  ，所以圆柱螺线的坐标式参数方程为 cos cos sin sin , x a a t y a a t R z b b t         = =   = =    = = ， 向量式参数方程为 r a a b R ( ) ( cos , sin , ),      =  。 1.4 旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。 一、旋转面的定义 定义 3.1 一条曲线  上每个点 M0 绕 l 旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过 l 的 半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。 二、旋转面的方程的求法 旋转面母线方程为一般方程时，旋转面的方程的求法

1、已知轴1过点M(,片，方向向量为，m,，母线Γ的方程为： ∫F(xy,)=0 ,点M(化，y,)在旋转面上的充分必要条件是M在经过母线「上某一点 G(x,y,)=0 M(xo,o,o)的纬圆上（如图3.2）。即，有母线「上的一点M。使得M和M到轴1的距 离相等（或到轴上一点M,的距离相等）：并且M。M⊥1。因此，有 F(x,0,0）=0, G(h,)=0, (3.7) MM×=MoMx, U(x-x)+m(y-%)+n(e-o)=0. 从这个方程中消去参数x,就得到x八，：的方程，它就是所求旋转面的方程。 2、旋转面母线方程为参数方程时，旋转面的方程的求法 己知旋转面的母线的参数方程为C:P(v)=(f(v),g(v),(v),a≤v≤b,旋转轴直线方 程为L:二五==当=二三，则纬圆族方程为 m 1(x-f(v)+my-g(v)+n(:-hv)=0 (-广+0v-+e-)'=(fm)-x)2+(g)-y)》2+(h)-)2' 消去参数ⅴ既得所求的旋转曲面的一般方程。 注1当旋转辅直线为：轴时，纬圆族为，)=0 气r+广+子=f+g)+当旋 转轴为x,y轴时，有相应的纬圆族。 假3求直线子-。绕直线x=少=：奖转所得的族装面的方程 解：设M,(:,片，)是母线上的任意点，因为旋转轴过原点，所以过M,的纬圆方程为 1×(x-x)+1x0y-y)1×(e-)=0, (1) x2+y2+2=x2++ 由于M在得线上，所以又有子-，即 x=2%,51=1, (2) 由(1)，(2)消去x,片，二，得所求旋转面方程为 5

5 1、已知轴 l 过点 ( ) 1 1 1 1 M x , y ,z ，方向向量为 v(l,m,n) ，母线  的方程为： ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z  =   = ， 点 M(x, y,z) 在旋转面上的充分必要条件是 M 在经过母线  上某一点 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z 的纬圆上（如图 3.2）。即，有母线  上的一点 M0 使得 M和M0 到轴 l 的距 离相等（或到轴上一点 M1 的距离相等）；并且 M M ⊥ l 0 。因此，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 , , 0, , , 0, . , 0. F x y z G x y z MM M M l x x m y y n z z    =  =    =    − + − + − =  （3.7） 从这个方程中消去参数 0 0 0, x , y ,z 就得到 x, y,z 的方程，它就是所求旋转面的方程。 2、旋转面母线方程为参数方程时，旋转面的方程的求法 已知旋转面的母线的参数方程为 C v f v g v h v a v b : ( ) ( ( ), ( ), ( )),  =   ，旋转轴直线方 程为 1 1 1 : x x y y z z L l m n − − − = = ，则纬圆族方程为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) 0 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) l x f v m y g v n z h v x x y y z z f v x g v y h v z  − + − + − =   − + − + − = − + − + − ， 消去参数 v 既得所求的旋转曲面的一般方程。 注 1 当旋转轴直线为 z 轴时，纬圆族为 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) z h v x y z f v g v h v  − =   + + = + + ，当旋 转轴为 x y, 轴时，有相应的纬圆族。 例 3 求直线 1 2 1 0 x y z − = = 绕直线 x y z = = 旋转所得的旋转面的方程。 解：设 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 是母线上的任意点，因为旋转轴过原点，所以过 M1 的纬圆方程为 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 ( )1 ( ) 0, ; x x y y z z x y z x y z   − +  −  − =   + + = + + （1） 由于 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 在母线上，所以又有 1 1 1 1 2 1 0 x y z − = = ，即 1 1 1 x y z = = 2 , 1， （2） 由（1），（2）消去 1 1 1 x y z , , 得所求旋转面方程为