《泛函分析》课程部分习题解答

部分习题解答 习题一(P34) (6)证明在距离空间中，如果一个半径为7的开球包含在一个半径为3的开球 中，则两个球重合。 证设s0,7)cs0,3)c(X,d),下证：s0,7)=s0,3).假设s0,7)≠s0,3), 则至少存在一点x∈s0,3).但xEs0,7),故有dx,0)≥7.由三角不等式 d(x,0)sd(x,0)+d0,0)即7≤3+3=6.矛盾 (7)证明在空间S中，按距离收敛等价于按坐标收敛 证设x=k,3)eS，y=0,)S,则 6川-2是k- 台21+k,-y 设点列x=（回，x20,.,x.n=12.,0=（0,x0,x@,. 若xn→x0,n→0.下证：x0→x0,n→0，i=12,.由xn→x0,n→0 初 dxn,xo）→0，n→o. 即 510-x刚 →0，n→0 台21+k,0-x。剑 故有x间→x0,1=1,2,n→o. (1) 反之若(1)成立，从(1)依次递推可得x。→x。,n→0.即S中点列若按坐 标收敛，则按距离收敛 (8)试举例说明有界集不是全有界集 证取cb,中的点列，}

1 部分习题解答 习题一（P34） （6）证明在距离空间中，如果一个半径为 7 的开球包含在一个半径为 3 的开球 中，则两个球重合. 证 设 s0,7 s0 ,3 X,d ，下证： s0,7  s0 ,3. 假设 s0,7  s0 ,3, 则至少存在一点 x s0 ,3. 但 x s0,7 ，故有 dx,0  7 . 由三角不等式 dx,0 dx,0 d0 ,0 即 7  3 3  6 . 矛盾 （7）证明在空间 S 中，按距离收敛等价于按坐标收敛. 证 设 x  x 1,x 2 ,  ,x n   S ， y  y1 , y2 ,  , yn S , 则   i i i i i i x y x y d x y       2 1 1 , 1 设点列        , ,  , ,  1 2 n k n n n x  x x x ，n 1,2, ,        , ,  , ,  0 0 2 0 0 1 k x  x x x . 若 0 x x n  , n  . 下证:   0 i n i x  x ，n  , i 1,2, . 由 0 x x n  , n   知 dxn , x0 0 , n   . 即         0 2 1 1 0 0 1        n n i n n i i i x x x x , n  . 故有   0 i n i x  x ，i 1,2, ，n  . （1） 反之若（1）成立，从（1）依次递推可得 0 x x n  , n  . 即 S 中点列若按坐 标收敛, 则按距离收敛. （8）试举例说明有界集不是全有界集. 证 取 C 0,1 中的点列 xn 

x)= -t0<t≤日 则点列：}为C01中的有界集.但点列{}不是完全有界的.否则若化。}完全 有界，由巾.完备，由定理1口)知红.}是列紧的，故，}在c巾中存在收 敛子列，但 x)= 1.t=0 h-,0<ts·00<1s1二6以， n x)eC0,小，矛盾. (9)证明距离空间中每一个Cauchy列是有界集 证设{x}为（仪，d)中任一Cauchy列，下证：x}为有界集 对e。=1,3N,当n,m>N时，有 d(xx)<50=1. 取r=maxd(x,xi)dx2,xi).,dxw,xw)1}则 )S(xxa.r). 故根据有界集的定义知，点列化}有界 (10)证明距离空间的完备子空间是闭子空间 证设Ac(X,d)且A完备，下证A是闭的.设n∈A且x。→x0,n→0， 要证A闭，即证x。∈A.由于x。→x,n→o,则{，}为X中的Cauc列.于 是仁，}也是A中的Cacy列.由A的完备性知，x∈A.证毕 (11)证明如果距离空间是可分的，则它的任意子空间也是可分的：反之，如果 距离空间不可分，它的任子空间是否也不可分？ 证设(X,d)可分，AcX且A为X的可列稠密子集.设D为X的任一子空间

2               . 1 1 , 0 ， 1 0, n nt t n t x tn 则点列 xn  为 C 0,1 中的有界集. 但点列 xn  不是完全有界的. 否则若 xn  完全 有界，由 C 0,1 完备，由定理 1   31 p 知 xn  是列紧的，故 xn  在 C 0,1 中存在收 敛子列，但   x t  t t n nt t n t x n t 0 0, 0 1 1, 0 1 1 , 0 1 0,                     ，   0,1 x 0 t  C ， 矛盾. （9）证明距离空间中每一个 Cauchy 列是有界集. 证 设 xn  为 X , d  中任一 Cauchy 列，下证： xn  为有界集. 对  0 1，N ，当 n,m  N 时，有 dxm , xn    0 1. 取 r  maxd x 1,x N 1 ,d x 2 ,x N 1 ,  ,d x N ,x N 1 , 1. 则 x  Sx r n N ,  1 . 故根据有界集的定义知，点列 xn  有界. （10）证明距离空间的完备子空间是闭子空间. 证 设 A  X,d  且 A 完备，下证 A 是闭的. 设 xn  A 且 0 x x n  , n  ， 要证 A 闭，即证 x0  A. 由于 0 x x n  , n   ，则 xn  为 X 中的 Cauchy 列. 于 是 xn  也是 A 中的 Cauchy 列. 由 A 的完备性知， x0  A. 证毕 （11）证明如果距离空间是可分的，则它的任意子空间也是可分的；反之，如果 距离空间不可分，它的任子空间是否也不可分？ 证 设 X , d  可分， A  X 且 A 为 X 的可列稠密子集. 设 D 为 X 的任一子空间

则A门D为D的稠密子集，而且4∩D在D中可列.故D可分. 反之若(X,d)不可分，子空间也有可能可分.例如表示有界实数列全体，严不 可分，设{在，}为1严中的Cauchy列.由于1严完备，故x,→x,n→o,其中x∈严 记A=x}B-{U{x。}易见BCX,A可列且A在B中稠.故B可分. (I2)设化，d)是距离空间，AcX,令)=i城化，小6∈).证明f是 X上的连续函数 证方法一证f)是X上的连续函数.化}cX，x。∈X且x。→x。 n→o.只须证明fk)→fx),n→o.一方面 f(x.)=inf d(x.y) ≤infl,xa)+d,y月 =d,小+d) =d(xx)+f(xo). 于是 fx)-fx)≤dxn,x)-→0，n→o 另一方面 fxo）-fxn)sdx,x) 所以 fxn)f(xo)sd(x,xo)→0，n→o. 故有 fx)→fx),no 由x,的任意性，∫在X上连续。 法二 设xe(X,d),f)在x连续台6>0,6>0，dk,x)<6有 f:X→Y,且

3 则 A D 为 D 的稠密子集，而且 A D 在 D 中可列. 故 D 可分. 反之若 X , d  不可分，子空间也有可能可分. 例如  l 表示有界实数列全体，  l 不 可分，设 xn  为  l 中的 Cauchy 列. 由于  l 完备，故 0 x x n  , n   ，其中  x l 0 . 记 A  x n, B  x nx 0 . 易见 B  X ， A 可列且 A 在 B 中稠. 故 B 可分. （12）设 X , d  是距离空间， A  X ，令 f x  f x y  y A inf ,   , x  X . 证明 f x 是 X 上的连续函数. 证 方法一 证 f x 是 X 上的连续函数. xn  X ， x0  X 且 0 x x n  ， n  . 只须证明     0 f x f x n  ，n  . 一方面 f x  dx y n y A n inf ,   d x x  d x y  n y A inf , ,  0  0  d x x  d x y  y A n, inf , 0 0        0 0 d x , x f x  n  . 于是 f xn  f x0  dxn , x0 0， n  . 另一方面       0 0 f x - f x d x , x n  n . 所以 f xn  f x0   dxn , x0 0 , n  . 故有     0 f x f x n  , n  . 由 n x 的任意性， f 在 X 上连续. 法二 设 xX , d  ， f x 在 0 x 连 续    0,   0,x：d x,x 0    有 f : X Y ，且

d(f(x).f(x》<e ,∈X,证V)-f(x)sd(x,.x)成立.即证 -dx,xo)s f(x)-f(ro)s dx.x) 由于 fx)=inf d(x,)≤infd(,xo)+dx,y刃 =d(x,xo)+f(xo), 所以 fx)fx)≤dx,x)） 下证 f(xo)sf(x)+d(x.xo) 即 f)=inf d(以 (13)设F,F是距离空间X中不相交的闭集，证明存在X上的连续函数f:), 使得当xeF时f)=0,当xeE时fx)=1 证令r)=infd(,小F)=赋d少 F阿·eU） E(x) 由12知F()连续，且F∩5=O.所以 F)+Ex)≠0， 故fx)连续. (14)设X是距离空间，证明：如果在X中，任一半径趋于零的闭球套具有非 空交，则空间X是完备的. 证设：，}是X中的任一Cauchy列，下证：.}在X中收敛.在X中存在 闭球套50，)p502,2)p.50n,)p,其中r,→0，n→0，且

4        0 d f x , f x . x0  X ，证       0 0 f x  f x  d x, x 成立. 即证         0 0 0  d x,x  f x  f x  d x,x . 由于 f x dx y y A inf ,   dx x  dx y y A inf , ,  0  0      0 0  d x, x  f x ， 所以       0 0 f x  f x  d x, x . 下证       0 0 f x  f x  d x, x . 即 f x  dx y y A inf , 0 0   . （13）设 1 2 F ,F 是距离空间 X 中不相交的闭集，证明存在 X 上的连续函数 f x， 使得当 F1 x  时 f x  0 ，当 F2 x  时 f x 1 证 令   inf  , ， 1 F1 x d x y y F  F x dx y y F inf , 2 2   ,     F x F x F x f x 1 2 1   ,    F1 F2 x 由 12 知 F x  F x  1 , 2 连续，且 F1F2   . 所以 F1 x F2 x  0， 故 f x 连续. （14）设 X 是距离空间，证明：如果在 X 中，任一半径趋于零的闭球套具有非 空交，则空间 X 是完备的. 证 设 xn  是 X 中的任一 Cauchy 列，下证： xn  在 X 中收敛. 在 X 中存在 闭球套 so1 ,r1   so2 ,r2   son ,rn   ，其中 0 n r , n   ，且

x1∈5%，5)x2∈502,5)八{}x∈5o,5)八{，x2}. xn∈S(o,x)八{x,x2,x- 由n}为Cauchy列知，s>0,N当m≥n>N,时， (1) 由→0，n→知，对上述e>0,3N,当n>N时有<6.而当m>n时， 5o,n)c50n,)从而xn∈5on,n),有 d(xx)<r 由于 ∩%)o。 所以可设，∈门%，)由三角不等式知当m之n>N=mx仪，N,时， d(xmxo)sd(xmx)+d(xxo)<r+r=2r<26- 故 xm→x0∈X，n→0 在(1)中令m→o有， d(xa,x)<E 所以 x→x,n→o. (15)设X是完备距离空间，了是X上的连续实函数族，且具有性质：对于每 一xeX,存在常数M.>0,使得对于每一Fe了，F(≤M,.证明存在开集U 及常数M>0,使得对于每一x∈U及所有F∈了，F(xsM 证设p)=supF小记m:eX:ps0eX:FsA 由F的连续性知仁∈X:F()sk}为X中的闭集.事实上，设

5 x 1  so1,r1 , x 2  so2 ,r2  \ x 1, x 3  so3 ,r3  \ x 1,x 2， ， xn  S(o n,x n ) \ {x 1, x 2 ,,x n 1}. 由 xn  为 Cauchy 列知，   0, N 1  当 m  n  N1 时，     n m d x , x . （1） 由 rn  0, n   知，对上述 2   0,N ，当 N2 n  时有   n r . 而当 m  n 时，     m m n n s o ,r  s o ,r ，从而   m n n x s o ,r , 有   n m n d x , x  r . 由于        1 , n n n s o r , 所以可设       1 0 , n n n x s o r . 由三角不等式知当 m  n  N  maxN1 ,N2  时，  ,   ,   ,  2 2 d xm x0  d xm xn  d xn x0  rn  rn  rn  . 故 xm  x0  X ，n  . 在（1）中令 m   有，     0 d x , x n . 所以 x n  x 0 , n  . （15）设 X 是完备距离空间， f ~ 是 X 上的连续实函数族，且具有性质：对于每 一 x  X ，存在常数 0 M x  ，使得对于每一 F f ~  ，   F x  M x . 证明存在开集 U 及常数 M  0 ，使得对于每一 x U 及所有 F f ~  ， Fx  M . 证 设 px Fx F f ~ sup   ，记         F f k w x X p x k x X F x k ~ : : :       . 由 F 的 连 续 性 知 x X : Fx  k 为 X 中的闭集 . 事 实 上 ， 设