二重积的计算习题讨论 讨论题目： 1.计算累次积分 1-m器+sn路 2.计算二重积分1=小V-do, 其中D={《x,y)Max(x.ly)s1. 3来二重积分：1-行o, 2554 米：1-倍-如 其中D=《x,yx2+y2≤R2} 5.求二重积分： 6.求三重积分：I-[「x+y+ 其中n=0≤iP-:1 E≤Vx2+y7 7.设f:cR→R,feC(Q, Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域， A=Maxf(P)PES),VPeQ,Igradfs M, 正明：1=h≤4+
二重积的计算习题讨论 讨 论 题 目: 1. 计算累次积分 ∫∫∫∫ = + 24 2 2 1 2 2 x x x dy y x Sindxdy y x SindxI π π 2. 计算二重积分 ∫∫ −−= D dyxI σ 22 1 , 其中 = { } ( ) ( yxMaxyxD ) ≤1, . 3. 求二重积分: ∫∫ = D d yx I σ 1 , 其中 ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ≤ ≤ + ≤ = 2 4 2 4 , 22 22 yx y yx x yxD . 4. 求二重积分: ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + = D d y f x x f y yx I σ 22 1 其中 {( ) } 222 = , ≤+ RyxyxD . 5. 求二重积分: ∫∫ ≤+ −− + = 1 22 22 2 yx dyx yx I σ 6. 求三重积分: ( )dvzyxI ∫∫∫ Ω ++= 其中 ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤ −−≤≤ =Ω 22 22 10 , yxz zyz zyx . 7. 设 →⊂Ω RRf + , , 3 : ( ) Ω∈ 1 Cf Ω 是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 = ( ) ( ) ∈ SPPfMaxA , P Ω∈∀ , ≤ Mfgrad , 证明： ( ) MR Advzyxf V I 4 , 1 = +≤ ∫∫∫ Ω , 1
其中，；V是域2的体积，∀P∈2，P,∈S。 &正明：后-aseh≤-e产，a>0. 9.若x∈[0，f)>0,单调减设 /,[0,0是y=(x)在0，上曲边梯形的重心x坐标； f,0,是y=∫(x)在0，上曲边梯形的重心x坐标： 证明：U,0,小≥0r,o, 10.若x∈[0,0<m≤f(x)≤M,证明： 器 4Mm 参考解答： y 1.计算累次积分 1-jm布+m5 2 解：1-jm5 j到cm-ab+刘 2.计算二重积分1=∬V-ydo, 其中D={《x,y)Max(x.b)s. 解：1=4V1-x2-y2d 2
其中，；V 是域Ω 的体积， ∈∀ Ω, ∃ 0 ∈ SPP 。 8. 证明； 2 2 4 2 1 1 a a a x dxea e π π π − − − −≤≤− ∫ , a > 0 . 9. 若 ∈∀ [ ] ( ) xfx > 0,1,0 , 单调减, 设 ( ) fx [ ] 1,0, 是 在 = ( ) xfy [ 1,0 ]上曲边梯形的重心 x坐标; ( [ ]1,0, ) 2 fx 是 (xfy ) 2 = 在[ 1,0 ]上曲边梯形的重心 x坐标; 证明： ( ) [ ] ( [ ]1,0,1,0, ) 2 ≥ fxfx 10.若 x [ ] 0,1,0 ( ) ≤≤<∈∀ Mxfm , 证明： ( ) ( ) ( ) mM mM dxdy yf xf y x 4 1 2 10 10 + ≤ ≤ ∫∫ ≤≤ ≤≤ . y y=2 y=x y=x 1/2 0 1 2 4 x 参 考 解 答: 1. 计算累次积分 ∫∫∫∫ = + 24 2 2 1 2 2 x x x dy y x Sindxdy y x SindxI π π 解: ∫∫ = 2 2 2 1 y y dx y x SindyI π = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 22 2 dy y CosCos y π π π = ( ) π π 2 + 4 2 2. 计算二重积分 ∫∫ −−= D dyxI σ 22 1 , 其中 = { } ( ) ( yxMaxyxD ) ≤1, . 解： ∫∫ −−= 22 14 D I dxdyyx 1 2
1=j∬-x-y j了 D. -h=君 4=八r-y 上 -语+字-小= 后到-司 n@2 3求二重积分：-号加， D=(x.) -C0s①4 解：1-加 1 2Sine ae =21 In(2g0d(0)=In2 1g0 4.求二重积分：1=川
∫∫ −−= 1 22 1 1 D I dxdyyx = ∫ ∫ − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0 π 2 π − = ∫ x dx ; ∫∫ = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy = ∫ ∫ − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ∫ x dx x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 3 1 3 2 18 1 6 4 π π I 3. 求二重积分: ∫∫ = D d x y I σ 1 , ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ≤ ≤ + ≤ = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . y 1 D2 D1 0 1 x y 9=Sin1/2 9=Sin1/4 9=Cos1/2 0 x 9=Cos1/4 解： ∫∫ = D d x y I σ 1 = = ∫ ∫ 4 2 1 2 1 4 1 2 2 π θ θ ρ θ θ ρ ρ θ arctg Sin Sin Cos Sin d d = ∫ 4 2 1 2 ln 1 2 π θ θ θ θ θ arctg d Cos Sin Cos Sin = ln( ) 2 ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 = ∫ π θ θ θ arctg tg d tg tg 4. 求二重积分: ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + = D d y f x x f y x y I σ 2 2 1 3
其中D=《x,以x2+少2≤R2人 解：考虑极坐标系x=pCos0 y=pSine do=pdpd0.D=《x,yx2+y2≤R2} (客割a 高小-高 因为：{片 a8ca8同周 eogX 小周 g加 哈影n -joj影0-jUep小aon=0 5.求二重积分： 咖 “照点停 D2
其中 {( ) } 222 = , ≤+ RyxyxD . 解：考虑极坐标系 , ⎩ ⎨ ⎧ = = θρ θρ Siny Cosx σ = ρ ρ ddd θ . {( ) } 222 = , ≤+ RyxyxD ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + x y yx f y f x x f y yx , 1 1 22 ρ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ ⋅ ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ x y yx f x y yx f , , , 1 , 1 θρ ρ θρρ = ∂θρ ∂ − 1 f 因为： ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ − x yx y x y yx 1 , , , , θρ θρ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − x y Sin Cos Cos Sin 1 θρθ θρθ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − x y Sin Cos Cos Sin θθ θρθρ ρ 1 . = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 00 ρ ρ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + = D d y f x x f y yx I σ 22 1 = ∫∫ ≤ ∂ ∂ − R dd f ρ θρρθρ 1 = ∫∫ ∂ ∂ − π θ θ ρ 2 00 d f d R = ( ) () () ∫ − − = R dff 0 ρϑρ 0,0,0 y A O1 D1 O x D2 5. 求二重积分: ∫∫ ≤+ −− + = 1 22 22 2 yx dyx yx I σ 解：如图，切点 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 , 2 2 A , 4
小服心o(怎 - I-fr.yo-o+fda =2/k,o-jr,ydo=4-1: D 4=2ro o-9- 专-2k+rhh -营-2 'po-G 4r加 -服+yo =-∬pdd0=-： 1-4-4-8 6.求三重积分： 1=∬e+y+h,其中 -os :≤V2+y 5
小园园心 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ xyxf −−= y ; ( ) ∫∫∫∫∫∫ = += ∪ 21 1 2 , DD D D dfdfdyxfI σσσ = ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∪ − 1 21 ,2 , D DD σ dyxfdyxf σ = 21 − II ; ( ) ∫∫ = 1 1 ,2 D dyxfI σ = = ∫∫∫∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D dσ x dy σ = [ ] ∫∫ ≤+ +− 4 1 22 22 2 8 vu dudvvu π = 16 2 8 2 1 3 π θρρ π ρ − = ∫∫ ≤ dd ; dyx σ yx I yx ∫∫ ≤+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− + = 1 22 2 22 2 = ( )dyx σ = yx ∫∫ ≤+ +− 1 22 22 = 2 1 3 π θρρ ρ − −= ∫∫ ≤ dd ; π 16 9 III 21 =−= 6. 求三重积分: ∫∫∫( dvzyxI , 其中 Ω ++= ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤ −−≤≤ =Ω 22 22 10 , yxz zyz zyx . 5