第二章矩阵及其运算 第一节矩阵 、矩阵的引入 1.某企业生产4种产品，各种产品的季度产量（单位：万吨）如下表： 立 量 1 2 3 4 用 95 85 85 9075 95 95 85708080 这个表中数据排成4行4列的产量阵列 此阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产量，同时也揭示了产量随季节变 化规律及年产量等情况 ax+a2x2+.+anxn=b a2+a22x2+.+a2mxn=b2 2.线性方程组 anx+an2x2+.+=b [其中系数a(,j=1,2,.,n小，常数项b(=1,2,.,n] aa2.amb 的解取决于 a1a2.a b 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为上面的一张表，对线性方程组的研究 可转化为对这张表的研究。 二、矩阵的定义 由m×n个数a,(=L,2.m,广=L,2.n)排成的m行n列的数表 a1la12.a1n a21an.a2m
第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 一、矩阵的引入 1. 某企业生产 4 种产品，各种产品的季度产量（单位：万吨）如下表： 1 2 3 4 1 80 55 75 80 2 95 70 85 85 3 90 75 95 95 4 85 70 80 80 这个表中数据排成 4 行 4 列的产量阵列 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 85 70 80 80 90 75 95 95 95 70 85 85 80 55 75 80 此阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产量，同时也揭示了产量随季节变 化规律及年产量等情况. 2.线性方程组 ï ï î ï ï í ì + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 . ， [其中系数a (i j n) ij , =1,2,L, ，常数项b (i n) i =1,2,L, ] 的解取决于 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é n n nn n n n a a a b a a a b a a a b L L L L L L L L 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为上面的一张表，对线性方程组的研究 可转化为对这张表的研究。 二、矩阵的定义 由m´n个数a (i 1,2 m, j 1,2 n) ij = L = L 排成的m 行n列的数表 m m mn n n a a a a a a a a a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 产 品 产 量 季 度
a1a2. 称为m×n矩阵简称m×n矩阵，记作A 简记为A=Ann=(au)n=(a,这m×n个数称为A的元素，简称为元 注：行列式与矩阵的区别与联系： 1.一个是算式，一个是数表： 2.一个行列数相同，一 行列数可不同： 3.对n阶方阵可求它的行列式，记为：4 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵」 例如：「。03引是一个2×4实矩阵 -9643 是一个3×1实矩阵 [1362i 222是一个3×3复矩阵 (4)是一个1×1实矩阵 222 三、几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵也可记作A 「1362 例如： 是一个3阶方阵 [222 (2)只有一行的矩阵A=(a,a2,.,an）称为行矩阵（或行向量） 「a 只有一列的矩阵B 称为列矩阵（或列向量） [00 (3)形如 030 0 的矩阵称为对角矩阵（简称对角阵） 00 000」 记作A=diag(久，2，.，入n)
称为m´n矩阵.简称m´n矩阵. 记作 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = m m mn n n a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 简记为 ( ) ( ) A = Am´n = aij m´n = aij ，这 m ´ n个数称为 A的元素，简称为元 注：行列式与矩阵的区别与联系： 1. 一个是算式 ，一个是数表； 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同； 3. 对 n 阶方阵可求它的行列式，记为: A . 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如： ú û ù ê ë é -9 6 4 3 1 0 3 5 是一个 2´ 4实矩阵。 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 4 2 1 是一个3´1实矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个3´3 复矩阵 (4) 是一个1´1实矩阵 三、几种特殊矩阵 （1）行数与列数都等于n的矩阵 A，称为 n阶方阵.也可记作 An 例如： ú ú ú û ù ê ê ê ë é 2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 3 阶方阵. (2) 只有一行的矩阵 ( ) n A a , a , ,a = 1 2 L 称为行矩阵(或行向量). 只有一列的矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = n a a a B M 2 1 称为列矩阵（或列向量） （3）形如 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ln l l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 O 的矩阵称为对角矩阵（简称对角阵）. 记作 ( ) n A = diag l1 ,l2 ,L,l
(4)元素全为零的矩阵称为零矩阵，1零矩阵记作0mxn或O 注意不同阶数的零矩阵是不相等的 例如P001007 。0o00 ≠00 「10.01 01.0 (5)方阵E=E。= 称为单位矩阵（或单位阵） . 00.1 四、同型矩阵与矩阵相等的概念 1两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵 [121[143] 例如56与84为同型矩阵 3739 2.两个矩阵A=(a)与B=(,)为同型矩阵，并且对应元素相等，即 ay=b,G=1,2.m,j=1,2.m)） 则称矩阵A与B相等，记作A=B 第二节矩阵的运算 一、矩阵的加法 设 aa.am （bb2.bn 4=(a)= B=()= b21b2.b2 （aa.am bab2.bm 是两个s×n矩阵，则矩阵 a1+baa+b2.an+bn C=(cu)=(ay+b)= a21+b21a2+b2.a2m+b2 a1+b1a2+b2.am+bm 称为A和B的和，记为C=A+B
（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m´n 零矩阵记作 m n o ´ 或 o . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 ú ú ú û ù ê ê ê ë é ¹ú û ù ê ë é 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (5)方阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 L L L L L L L E En 称为单位矩阵（或单位阵）. 四、同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 例如 ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é 3 9 8 4 14 3 3 7 5 6 1 2 与 为同型矩阵 2.两个矩阵 ( ) ij A = a 与 ( ) ij B = b 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 a b (i 1,2 m, j 1,2 n) ij = ij = L = L 则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A=B. 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 设 ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = = s s sn n n sn ij a a a a a a a a a A a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 , ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = = s s sn n n sn ij b b b b b b b b b B b L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 是两个 s ´ n矩阵，则矩阵 ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ + + + + + + + + + = = + = s s s s sn sn n n n n sn ij ij sn ij a b a b a b a b a b a b a b a b a b C c a b L M M M L L 1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 称为 A和 B 的和，记为C = A + B
说明：矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的 行数和列数.矩阵的加法其实就是它们对应元素的加法，也就是数的加法，所以 矩阵的加法满足： 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C: 交换律：A+B=B+A. -au -an2.-ai 矩阵 -a21-a2.-a2 称为矩阵A的负矩阵，记为-A·显然有 （-a-aa.-am A+(-A)=O 矩阵的减法定义为：A-B=A+(一B) 二、数与矩阵相乘 （kan kay2.kan 定义：矩阵 ka2ikaa.ka2m 称为矩阵A=(a)与数k的数量乘积，记 ka1ka2.kan 为4或Ak.换句话说，用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k 数与矩阵相乘满足以下的运算规律： 1、(k+0A=k4+A, 2、k(A+B)=k4+kB, 3、k(A)=(A, 4、1A=A, 5、k(AB)=(kA)B=A(kB) 实例：三个煤矿民，县，县到四个城市4,4,44的距离如下表所示： 、市 分 B 21 102a33034
说明：矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的 行数和列数.矩阵的加法其实就是它们对应元素的加法，也就是数的加法，所以 矩阵的加法满足： 结合律： A + (B + C) = (A + B) + C ; 交换律： A + B = B + A . 矩 阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - - - - - - s s sn n n a a a a a a a a a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 称 为矩阵 A 的 负 矩阵， 记 为 - A . 显 然 有 A + (-A) = O 矩阵的减法定义为： A - B = A + (-B) 二、数与矩阵相乘 定义：矩阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ s s sn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 ( ) sn ij A = a 与数 k 的数量乘积，记 为kA 或 Ak .换句话说，用数k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上 k . 数与矩阵相乘满足以下的运算规律： 1、( ) k + l A = + kA lA, 2、k(A + B) = kA + kB , 3、k(lA) = (kl)A, 4、1A = A , 5、k(AB) = (kA)B = A(kB) . 实例：三个煤矿 1 2 3 B ,B , B 到四个城市 1 2 3 4 A , A , A , A 的距离如下表所示： A1 A2 A3 A4 B1 a11 a12 a13 a14 B2 21 a 22 a 23 a 24 a B3 31 a a32 a33 a34 城 市 距 离 /km 煤 矿
货物每吨公里运费为d元，求各煤矿到各城市每吨煤的运费。 解：若记 （a31a32a3a34 则各煤矿到个城市每吨煤的运费可表示为 矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算 (k0.0 矩阵kE 0k.0 通常称为数量矩阵， 00 如果A是一n×n矩阵，那么有k=(E)A=A(kE): 这个式子说明，数量矩阵与所有的n×n矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果 一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵 再有 E+=(+)E, (kE)(IE)=()E 三、矩阵与矩阵相乘 实例：某两种合金均含有某三种金属，其成分如下表： 金 A C 比 甲 0.80.10.1 乙 0.40.30.3 现有甲种合金30吨，乙种合金20吨，求三种金属的数量. 解：两种合金的成分构成矩阵记为 B-888g8 甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为 A=(3020
货物每吨公里运费为d 元，求各煤矿到各城市每吨煤的运费. 解：若记 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a A 则各煤矿到个城市每吨煤的运费可表示为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 da da da da da da da da da da da da dA 矩阵相加与数乘矩阵结合起来，统称为矩阵的线性运算. 矩阵 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = k k k kE L M M M L L 0 0 0 0 0 0 通常称为数量矩阵. 如果 A 是一n ´ n矩阵，那么有kA = (kE)A = A(kE) . 这个式子说明，数量矩阵与所有的n ´ n矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果 一个n 级矩阵与所有n 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵. 再有 kE + lE = (k + l)E , (kE)(lE) = (kl)E . 三、矩阵与矩阵相乘 实例：某两种合金均含有某三种金属，其成分如下表： A B C 甲 0.8 0.1 0.1 乙 0.4 0.3 0.3 现有甲种合金 30 吨，乙种合金 20 吨，求三种金属的数量. 解：两种合金的成分构成矩阵记为 ÷ ø ö ç è æ = 0.4 0.3 0.3 0.8 0.1 0.1 B 甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为 A=(30 20) 金 属 含 量 合 比 金