第四章坐标变换 一、学习目的 通过本章的学习，使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和 性质：熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移 轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用。本章计划12学时，总结与复习3 学时. 二、重点、难点 (一)教学重点：重点是点的直角坐标变换的定义和性质： (二)教学难点：难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析。 4.1平面的仿射坐标变换 4.11点的仿射坐标变换公式 平面上给了两个放射坐标系：[O,6]和[O;日，e2]。为说话方便起见，前一个称为 旧坐标系，简记为1：后一个称为新坐标系，简记为Ⅱ。点M(或向量)在I中的坐标 系称为它的1坐标（或旧坐标）：在Ⅱ中的坐标称为它的Ⅱ坐标（或新坐标）。为了研究同 一点M的1坐标与Ⅱ坐标的关系，就首先要确定1与Ⅱ的相对位置。 设Ⅱ的原点0坐标的坐标是(x,%),设Ⅱ的基向量，的1坐标分别是(a,a2), (a2,az)。现在我们来求点M的I坐标(x,y)与它的Ⅱ坐标(x,y)之间的关系。 e、 4. 因为
第四章 坐 标 变 换 一、学习目的 通过本章的学习，使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和 性质；熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移 轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用．本章计划 12 学时，总结与复习 3 学时． 二、重点、难点 （一）教学重点：重点是点的直角坐标变换的定义和性质； （二） 教学难点：难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析。 4.1 平面的仿射坐标变换 4.1.1 点的仿射坐标变换公式 平面上给了两个放射坐标系： 1 2 [ ; , ] O e e 和 ' ' ' 1 2 [ ; , ] O e e 。为说话方便起见，前一个称为 旧坐标系，简记为 I ；后一个称为新坐标系，简记为 II 。点 M （或向量 ）在 I 中的坐标 系称为它的 I 坐标（或旧坐标）；在 II 中的坐标称为它的 II 坐标（或新坐标）。为了研究同 一点 M 的 I 坐标与 II 坐标的关系，就首先要确定 I 与 II 的相对位置。 设 II 的原点 ' 0 坐标的坐标是 0 0 ( , ) x y ，设 II 的基向量 ' 1 e , ' 2 e 的 I 坐标分别是 11 21 ( , ) a a ， 12 22 ( , ) a a 。现在我们来求点 M 的 I 坐标 ( , ) x y 与它的 II 坐标 ' ' ( , ) x y 之间的关系。 因为， 图 1e 0 ' 2 e ' 1 e ' 0 M 2 e 图 4.1
OM=00+0M=(g+%马)+(e+y8) =(xoen+yoe)+x(ae +ae)+y(aze +aze) =(aux +aay +xoe +(azx +azy+yo)e2, 所以 x=41x+a21y+x0, (y=a21x+a22y+% (4.10 公式(4.1)称为平面上坐标I到Ⅱ的点的仿射坐标变换公式。它把任意一点M的I坐标 x,y表示成它的Ⅱ坐标x,y的一次多项式。 定理4.1平面上点的仿射坐标变换公式(4.1)的系数行列式不等于零，即 anan ≠0. dzaz 证明：假设(4.)中系数行列式为零，则由定理1.4知，与共线矛盾。所以结论成立。 由于公式(4.1)中的系数行列式（记为d)不等于零，因此把(4.1）看成x,y的方程组，可 以求得唯一解： x= y-(ax-ay-a+ae) 1x-x0a21 (4.2) y=da.y-y(-dax+any+aato-anyo) 公式(4.2)把任意一点M的坐标x,y表示成它的I坐标x,y的一次多项式，称它是到的 点的仿射坐标变换公式。 4.1.2向量的仿射坐标变换公式 现在来看平面上的向量m的I坐标(u,)与它的Ⅱ坐标(，v)之间的关系。设 m=MM,其中M,的1坐标为(x,y),Ⅱ的坐标为(x,y,i=L,2.。则
' ' ' ' ' ' 0 1 0 2 1 2 ' ' 0 1 0 2 11 1 21 2 21 1 22 2 1 ' ' ' ' 11 21 0 1 21 22 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , OM OO O M x e y e x e y e x e y e x a e a e y a e a e a x a y x e a x a y y e = + = + + + = + + + + + = + + + + + 所以 ' ' 11 21 0 ' ' 21 22 0 , . x a x a y x y a x a y y = + + = + + (4.1) 公式 (4.1) 称为平面上坐标 I 到 II 的点的仿射坐标变换公式。它把任意一点 M 的 I 坐标 x y, 表示成它的 II 坐标 ' ' x y, 的一次多项式。 定理 4.1 平面上点的仿射坐标变换公式 (4.1) 的系数行列式不等于零，即 11 12 21 22 0. a a a a 证明：假设 (4.1) 中系数行列式为零，则由定理 1.4 知，与共线矛盾。所以结论成立。 由于公式 (4.1) 中的系数行列式（记为 d ）不等于零，因此把 (4.1) 看成 ' ' x y, 的方程组，可 以求得唯一解： ' 0 12 22 12 22 0 12 0 0 22 ' 11 0 21 11 21 0 11 0 22 0 1 1 ( ) (4.2) 1 1 ( ) x x a x a x a y a x a y d d y y a a x x y a x a y a x a y d d a y y − = = − − + − − = = − + + − − 公式 (4.2) 把任意一点 M 的 II 坐标 ' ' x y, 表示成它的 I 坐标 x y, 的一次多项式，称它是到的 点的仿射坐标变换公式。 4.1.2 向量的仿射坐标变换公式 现在来看平面上的向量 m 的 I 坐标 ( , ) u v 与它的 II 坐标 ' ' ( , ) u v 之间的关系。 设 m M M = 1 2 ，其中 Mi 的 I 坐标为 ( , ) i i x y , II 的坐标为 ' ' ( , ), 1, 2. i i x y i = 。则
=x2-x=(a2+a2y2+x)-(a1+a2y+x) =a(g2-x)+a20y2-)=a4+a2y, v=y2-月=(a22+a22+%)-(a2x+azy+%) =a2(x2-x)+a2z(052-)=a24+a22y, u=au +av, (4.3) v=au +azv. (4.3)称为平面上坐标1到Ⅱ的向量的仿射坐标变换公式，它把任一向量m的1坐标山，y 表示成它Ⅱ的坐标，”的一次其次多项式（即没有常数项），这是与点的坐标变换公式不同 的地方。平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看，则点和向 量的坐标都是有序实数偶，看不出点和向量的区别：但是如果取两个仿射坐标系（它们的原 点不重合)，通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式(4.)中有常数 项，而向量的坐标变换公式(4.3)中就没有常数项。 由于(4.3)中系数行列式不为零，因此可反解出： u=I (dzu-) 's! (4.4) (-u+). 这是Ⅱ到1的向量的仿射坐标变换公式。由(4.4)看出，I的基向量e,e,的坐标分别是 作业：习题4.1：3。 §4.2矩阵及其运算 4.2.1矩阵的概念及矩阵的运算 定义4.15n个实数a,=1,2.,j=1,2,m排成s行，n列的一张表
' ' ' ' 2 1 11 2 21 2 0 11 1 21 1 0 ' ' ' ' ' ' 11 2 1 21 2 1 11 21 ' ' ' ' 2 1 21 2 22 2 0 21 1 22 1 0 ' ' ' ' ' ' 21 2 1 22 2 1 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , u x x a x a y x a x a y x a x x a y y a u a v v y y a x a y y a x a y y a x x a y y a u a v = − = + + − + + = − + − = + = − = + + − + + = − + − = + 即 ' ' 11 21 ' ' 21 22 , . u a u a v v a u a v = + = + (4.3) (4.3) 称为平面上坐标 I 到 II 的向量的仿射坐标变换公式，它把任一向量 m 的 I 坐标 u v, 表示成它 II 的坐标 ' ' u v, 的一次其次多项式（即没有常数项），这是与点的坐标变换公式不同 的地方。平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看，则点和向 量的坐标都是有序实数偶，看不出点和向量的区别；但是如果取两个仿射坐标系（它们的原 点不重合），通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式 (4.1) 中有常数 项，而向量的坐标变换公式 (4.3) 中就没有常数项。 由于 (4.3) 中系数行列式不为零，因此可反解出： ' 22 12 ' 21 11 1 ( ) , 1 ( ) . u a u a v d v a u a v d = − = − + (4.4) 这是 II 到 I 的向量的仿射坐标变换公式。由 (4.4) 看出， I 的基向量 1 2 e e, 的坐标分别是 22 21 12 11 ( , ),( , ) a a a a d d d d − − 。 作业：习题 4.1：3。 §4.2 矩阵及其运算 4.2.1 矩阵的概念及矩阵的运算 定义 4.1 sn 个实数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i s j n = = 排成 s 行， n 列的一张.表
a1a2.4a a1a2.an 称为一个s×n矩阵。 定义42两个矩阵A,B,如果它们的行数和列数相同，并且对应的元素都相等，则称它 们是相等的矩阵，A=B。 (一)矩阵的加法和数量乘法 定义4.3若A=(a,),B=(亿)都是s×n矩阵，则 a,±b1a2±b2.an±bn A±B= a±b:a+ba.an±h a1±b1a2±b2.an±bn 这种运算称为矩阵加法（或减法）。 定义4.4若A=(a,)都是s×n矩阵，k是实数，则 aka2.kan kA:= ka21ka2.ka2n (ka1ka2.kam 这种运算称为矩阵的数量乘法。 矩阵加法（或减法）和数量乘法满足下述规律： 对任意的s×n矩阵A,B,C,实数k,l,有 (①)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+0=A(4)A+(-A)=0 (5)1.A=A:(6)k(LA)=(kl)A;(7)(k+)A=kA+14;(8)k(A+B)=kA+kB. (二)矩阵的乘法 定义4.5若A=(a,)都是s×n矩阵，B=(,)都是n×r矩阵，则规定A乘以B得到一个 s×r矩阵（记作AB),AB的（亿，）元素是A的第i行元素与B的j列元素乘积之和，即AB 的，)元素：=∑a4y,其中1=12，j=2.7 矩阵乘法满足下述规律： 对任意的5×n矩阵A,B,C,实数k,有
11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a a a a 称为一个 s n 矩阵。 定义 4.2 两个矩阵 A B, ，如果它们的行数和列数相同，并且对应的元素都相等，则称它 们是相等的矩阵， A B = 。 （一）矩阵的加法和数量乘法 定义 4.3 若 ( ), ( ) A a B b = = ij ij 都是 s n 矩阵，则 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 : n n n n s s s s sn sn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b + = ， 这种运算称为矩阵加法（或减法）。 定义 4.4 若 ( ) A a = ij 都是 s n 矩阵， k 是实数，则 11 12 1 21 22 2 1 2 : n n s s sn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka = ， 这种运算称为矩阵的数量乘法。 矩阵加法（或减法）和数量乘法满足下述规律： 对任意的 s n 矩阵 A B C , , ，实数 kl, ，有 (1) ; (2)( ) ( ); (3) 0 ; (4) ( ) 0; (5)1 ; (6) ( ) ( ) ; (7)( ) ; (8) ( ) . A B B A A B C A B C A A A A A A k lA kl A k l A kA lA k A B kA kB + = + + + = + + + = + − = • = = + = + + = + （二） 矩阵的乘法 定义 4.5 若 ( ) A a = ij 都是 s n 矩阵， ( ) B b = ij 都是 n r 矩阵，则规定 A 乘以 B 得到一个 s r 矩阵（记作 AB ）， AB 的 ( , ) i j 元素是 A 的第 i 行元素与 B 的 j 列元素乘积之和，即 AB 的 ( , ) i j 元素： 1 n ik kj k a b = = ，其中 i s j r = = 1,2, , ; 1,2, , 。 矩阵乘法满足下述规律： 对任意的 s n 矩阵 A B C , , ，实数 k ，有
(I)(AB)C=A(BC)(结合律)方 (2)AB+C)=AB+AC(左分配律： (3(B+C)A=BA+CA(右分配律)方 (4)k(AB)=(k4)B=A(kB), (三)矩阵的转置 定义4.6把一个矩阵A,的行、列互换得到的矩阵称为的A转置，记为A(或A)。 矩阵的转置满足下列规律： ①(Y=; (2)(A+BY=A+B; (3)(k4=k4: (4)(ABy=B. 定义4.7n级矩阵A如果满足：A=A,则称A是对称矩阵。 4.2.3方阵的行列式 若4≠0，则称A是非奇异的：否者称为奇异的。 定理4.2若A和B都是n级矩阵，则 4B=A B. 定义4,8若对于n级矩阵A,存在矩阵B,使得 AB=BA=I, 则称A是可逆炬阵，称B是A的逆矩阵。 定理4.3矩阵A可逆的充分必要条件是A≠0（即A非奇异）。 命题4.1若对于方阵A,存在方阵B,使AB=E,则A是的可逆矩阵，并且A'=B。 利用命题4.1容易证明可逆矩阵具有下述性质： (1)若A,B均是n级可逆矩阵，则AB可逆，并且(AB)=B (2)若A可逆，则也可逆，并且(4)=() (3)若A可逆，则A=A. 4.2.5正交矩阵 定义4.9若一个n级矩阵A适合 AA'=E
(1)( ) ( )( ); (2) ( ) ( ); (3)( ) ( ); (4) ( ) ( ) ( ). AB C A BC A B C AB AC B C A BA CA k AB kA B A kB = + = + + = + = = 结合律 左分配律 右分配律 （三） 矩阵的转置 定义 4.6 把一个矩阵 A s n 的行、列互换得到的矩阵称为的 A 转置，记为 A （或 ' A ）。 矩阵的转置满足下列规律： (1) ( ) ; (2) ( ) ; (3) ( ) ; 4 ( ) . t t t t t t t t t t A A A B A B kA kA AB B A = + = + = = （ ） 定义 4.7 n 级矩阵 A 如果满足： t A A = ，则称 A 是对称矩阵。 4.2.3 方阵的行列式 若 A 0 ，则称 A 是非奇异的；否者称为奇异的。 定理 4.2 若 A 和 B 都是 n 级矩阵，则 AB B = A . 定义 4.8 若对于 n 级矩阵 A ，存在矩阵 B ，使得 AB BA I = = , 则称 A 是可逆矩阵，称 B 是 A 的逆矩阵。 定理 4.3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 0 （即 A 非奇异）。 命题 4.1 若对于方阵 A ，存在方阵 B ，使 AB=E ，则 A 是的可逆矩阵，并且 -1 A =B 。 利用命题 4.1 容易证明可逆矩阵具有下述性质： （1） 若 A B, 均是 n 级可逆矩阵，则 AB 可逆，并且 1 1 1 ( ) . AB B A − − − = （2） 若 A 可逆，则 t A 也可逆，并且 1 1 t ( ) ( ) . t A A − − = （3） 若 A 可逆，则 1 t A A− = . 4.2.5 正交矩阵 定义 4.9 若一个 n 级矩阵 A 适合 =E t AA