$6.4'一维系统和二维系统的分支简介 一维系统的分支问题 考虑一维一阶系统 东=动 (6.39) 其中1∈12SR为参数。假设fx,)对x,1至少具有二次连续可微，且fx,)=0的解 集在参数平面上为一条曲线或几条曲线（也可能退化为一点），记为S。此时S上点为系统 (6,39)的平衡解（平衡点），并称S的几何表示为系统(639)的分支图，分支图中曲线称为分 支曲线。 对于点几化入ES,者头)上0或者影C)20,则称点为正则点：否则路为修界 点。在S上，若当入通过∈I,时，相应于元的系统平衡点的个数或者稳定发生改变，则 称元=元，为系统(6.39)的分支值，并称分支曲线上对应于元=，的点为分支点。显然在临界 点处有f(x,)=(x。,)=f(x。,)=0,因此临界点是可疑分支点。进一步，若函 数fx,)在点P,)处的三个二阶偏导数A=f(x,B=x,)和 C=∫a(x。,)中有一个不等于零，则称P为初等临界点，否则称它为高阶临界点。下面 给出临界点的判别式，记 D=B2-AC. 若D>0,则称临界点P为重点：若D<0,则称临界点P为孤立临界点。显然重点 是分支点，而孤立临界点不是分支点。 对于P(x,)∈S,假设分支曲线表示成x=x(),若fx,x(2)》在x=x()处改变 符号，具体来说，当由大变小经过x=x()时，有f(x,x()从负（正）变正（负），则 称x=x()为系统(6.39)的稳定（不稳定）平衡解（或者点）。 最后，若分支曲线可以用x=x()或者元=x)表示，因此系统平衡点的稳定性指标 可定义为a(a)=f(x(a)或者x=(x,》 例如，由于f(x(,)=0或者f(x,(x)》=0,两边对1或者x求导数，即有 a+a=0度者k,+k,因=0，假设R为正 d dx 则点，即R满足/，)≠0.而在元=元处成者在x=k,处政变符号. di g
138 §6.4* 一维系统和二维系统的分支简介 一 一维系统的分支问题 考虑一维一阶系统 f ( ) x,λ dt dx = (6.39) 其中λ ∈ I λ ⊆ R 为参数。假设 f (x,λ)对 x,λ 至少具有二次连续可微，且 f (x,λ) = 0 的解 集在参数平面上为一条曲线或几条曲线（也可能退化为一点），记为 S 。此时 S 上点为系统 (6.39)的平衡解（平衡点），并称 S 的几何表示为系统(6.39)的分支图，分支图中曲线称为分 支曲线。 对于点 P (x )∈ S 0 0 0 ,λ ，若 ( ) 0 0 ≠ ∂ ∂ P x f 或者 ( ) 0 0 ≠ ∂ ∂ P f λ ，则称点为正则点；否则称为临界 点。在 S 上，若当λ 通过λ λ ∈ I 0 时，相应于λ 的系统平衡点的个数或者稳定发生改变，则 称λ = λ0 为系统(6.39)的分支值，并称分支曲线上对应于λ = λ0 的点为分支点。显然在临界 点处有 ( , ) ( , ) ( , ) 0 f x0 λ0 = f x ′ x0 λ0 = f λ ′ x0 λ0 = , 因此临界点是可疑分支点。进一步，若函 数 f (x,λ) 在 点 ( ) 0 0 0 P x ,λ 处 的 三 个 二 阶 偏 导 数 ( ) ( ) 0 0 0 0 A = f xx ′′ x ,λ , B = f x ′ λ ′ x ,λ 和 ( ) 0 0 C = f λλ ′′ x ,λ 中有一个不等于零，则称 P0 为初等临界点，否则称它为高阶临界点。下面 给出临界点的判别式，记 D = B − AC 2 。 若 D > 0 ，则称临界点 P0 为重点；若 D < 0，则称临界点 P0 为孤立临界点。显然重点 是分支点，而孤立临界点不是分支点。 对于∀ ∈ P x S ( ,λ ) ，假设分支曲线表示成 x = x(λ)，若 f x x ( , ) (λ ) 在 x = x(λ)处改变 符号，具体来说，当 x x x 由大变小经过 = (λ ) 时，有 f x x ( , (λ ))从负 正 变正 ( ) (负) ，则 称 x = x(λ)为系统(6.39)的稳定（不稳定）平衡解（或者点）。 最后，若分支曲线可以用 x = x(λ)或者λ = λ(x) 表示，因此系统平衡点的稳定性指标 可定义为α(λ) f (x(λ),λ) x = ′ 或者 (x) f (x (x)) β = x ′ ,λ 。 例如，由于 f (x(λ),λ) = 0 或者 f x x ( , 0 λ ( )) = ，两边对 λ 或者 x 求导数，即有 ( ) ( ) ( ) ′ , + ′( ) ( ) λ ,λ = 0 λ λ λ λ λ f x d dx f x x 或者 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ , + ′ , = 0 dx d x f x x f x x x λ λ λ λ 。假设 P0 为正 则点，即 P0 满足 ( , ) 0 f λ ′ x0 λ0 ≠ 。而 ( ) λ λ d dx 在λ = λ0 处或者 ( ) dx dλ x 在 0 x = x 处改变符号
则相应的a(入)或者x)也改变符号，此时系统(6.39)在点P。所在分支的平衡解在点P。的两 边的稳定性是不同的。因此称P,为转变点，此时点P,也为分支点。 例10试判别下列一维单参数微分方程的入的分支值 (1)求=元-x2 (2)元=x-x2 (3)=x-x3 (4)=1+3x-x3 解(1)记f(x,)=元-x2,令fx,)=0,有解x=士W,1eR,这条分支曲线记为S。 计算∫=-2x,f片=1，因此分支曲线上点点为正则点。并且当x从大变小穿过x=x()时， 观察∫的正负号可知当入之0时，平衡点x=√万稳定：当元>0时，平衡点x=-√万不稳 定。同时()=2√元在元=0处变号，于是P,0,0)为转变点，即分支点，=0为分 支值。如图6.13a)所示，称此类型分支点为鞍结点分支点 (2)记f(x,)=2x-x2,令fx,)=0,有解x=0和x=1,这两条分支曲线分别记 为S,和S2。计算f=1-2x,f片=x,∫：=-2，∫a=1,f=0。并且当x从大变小穿过 x=x()时，观察f的正负号可知：S,(x<0)和S2(x>0)为稳定平衡点：S,(x>0)和 S,(x<0)为不稳定平衡点。进一步，我们有 (a)当Px,)eS,时，即有x=0,∈R,易知f0,0)=f0.0)=f0,0)=0和 D0,0)=B2-AC=1>0,同时a()=1在1=0处变号.于是P,(0,0)为重点，当然也 是分支点，=0是分支值 b)当P(x,)ES,时，即有x=元，1∈R,易知(a)=-1在元=0处变号。于是P(0,0)为 重点，当然也是分支点，1=0是分支值 分支图如图(6.13b)所示，称此类型分支点为跨临界点分支点 (3)记fx,)=x-x3,令fx,)=0,有解x=0,x=±万，这两分支曲线分别记为 S,和S2。计算有f=-3x2,f片=x,f孤=-6x,fa=1,fa=0。并且当x从大变小穿 139
139 则相应的α(λ)或者 β(x) 也改变符号，此时系统(6.39)在点 P0 所在分支的平衡解在点 P0 的两 边的稳定性是不同的。因此称 P0 为转变点，此时点 P0 也为分支点。 例 10 试判别下列一维单参数微分方程的λ 的分支值 （1） 2 x& = λ − x （2） 2 x& = λx − x （3） 3 x& = λx − x （4） 3 x& = λ + 3x − x 解 （1）记 ( , ) , ( , ) 0 2 f x λ = λ − x 令f x λ = ，有解 = ± ∈ R+ x λ ,λ ，这条分支曲线记为 S 。 计算 ′ = −2 , ′ = 1 λ f x f x ，因此分支曲线上点点为正则点。并且当 x 从大变小穿过 x = x(λ)时， 观察 f 的正负号可知当λ ≥ 0时，平衡点 x = λ 稳定；当λ > 0 时，平衡点 x = − λ 不稳 定。同时α(λ) = m2 λ 在 λ = 0 处变号，于是 ( 0,0 ) P0 为转变点，即分支点， 0 λ0 = 为分 支值。如图(6.13a)所示，称此类型分支点为鞍结点分支点 （2）记 ( ) 2 f x,λ = λx − x ，令 f (x,λ) = 0 ，有解 x = 0和 x = λ ，这两条分支曲线分别记 为 S1和 S2 。计算 ′ = − 2 , ′ = , ′′ = − ,2 ′′ = ,1 ′′ = 0 λ λ λ λλ f x f x f f f x xx x 。并且当 x 从大变小穿过 x = x(λ)时，观察 f 的正负号可知： ( 0) S1 x < 和 ( 0) S2 x > 为稳定平衡点； ( 0) S1 x > 和 ( 0) S2 x < 为不稳定平衡点。进一步，我们有 (a) 当 ( ) 1 P x,λ ∈ S 时 ， 即 有 x = ,0 λ ∈ R ， 易 知 ( 0,0 ) = ′( 0,0 ) = ′( 0,0 ) = 0 λ f f f x 和 ( 0,0 ) 1 0 2 D = B − AC = > ，同时α(λ) = λ 在λ = 0 处变号。于是 ( 0,0 ) P0 为重点，当然也 是分支点， 0 λ0 = 是分支值. (b)当 ( ) 2 P x,λ ∈ S 时，即有 x = λ,λ ∈ R ，易知α(λ) = −λ 在λ = 0 处变号。于是 ( 0,0 ) P0 为 重点，当然也是分支点， 0 λ0 = 是分支值. 分支图如图(6.13b)所示，称此类型分支点为跨临界点分支点 （3）记 ( ) 3 f x,λ = λx − x ，令 f (x,λ) = 0 ，有解 x = ,0 x = ± λ ，这两分支曲线分别记为 S1和 S2 。计算有 3 , , 6 , ,1 0 2 f x ′ = λ − x f λ ′ = x f xx ′′ = − x f xλ ′′ = f λλ ′′ = 。并且当 x 从大变小穿
过x=x)时，观察f的正负号可知：S(x<0)和S,(x>0)为稳定的平衡解：S,(x>0) 为不稳定的平衡解。 (a)当Px)eS时，记x=0,1eR,易知f0,0)=f0,0)=f0,0)=0。同时 (a)=元在1=0处变号，且D0,0)=1>0,则P(0,0)为重点，当然为分支点。 b)当Px,)eS,时，即x=±√瓦，eR,此时a()=-2元在元=0处变号，所以P0,0) 为分支点。分支图如图(6.13C)所示，称此类型分支点为叉式分支点。 (4)记f(x,)=元+3x-x3,令fx,)=0,有解1=x3-3x,记这支分支曲线为S。 计算f=3-3x2,片=1，∫=6x∫=0，f:=0,并且当x从大变小穿过x=x(a) 时，观察f的正负号可知：S(x>)和Sx<-)为稳定平衡解：S(-1<x<1)为不稳定平 衡解。同时x)=(x,x》=3-3x2在x=±1处变号，所以P(仁-1,2)和P,-2)为分 支点，1=2为分支值，分支图如图(6.13d)所示，称此类型分支点为复合分支点。 (a)鞍结点分支 (b)跨临界分支 (c)叉式分支 (d)复合分支 图(6.13) 二维系统的分支问题 考虑二维一阶系统 =f,y dt (6.40) =gxy刀 d 140
140 过 x = x(λ)时，观察 f 的正负号可知： ( 0) S1 x < 和 ( 0) S2 x > 为稳定的平衡解； ( 0) S1 x > 为不稳定的平衡解。 (a) 当 ( ) 1 P x,λ ∈ S 时，记 x = ,0 λ ∈ R ，易知 ( 0,0 ) = ′( 0,0 ) = ′( 0,0 ) = 0 λ f f f x 。同时 α(λ) = λ 在λ = 0 处变号，且 D( 0,0 ) = 1 > 0 ，则 ( 0,0 ) P0 为重点，当然为分支点。 (b)当 ( ) 2 P x,λ ∈ S 时，即 = ± ∈ R+ x λ ,λ ，此时α(λ) = −2λ 在λ = 0 处变号，所以 P( 0,0 ) 为分支点。分支图如图(6.13c)所示，称此类型分支点为叉式分支点。 （4）记 ( ) 3 f x,λ = λ + 3x − x ，令 f (x,λ) = 0 ，有解 x 3x 3 λ = − ，记这支分支曲线为 S 。 计算 3 3 , ,1 6 , ,0 0 2 f x ′ = − x f λ ′ = f xx ′′ = − x f xλ ′′ = f λλ ′′ = ，并且当 x 从大变小穿过 x = x(λ) 时，观察 f 的正负号可知：S(x > 1)和 S(x < −1)为稳定平衡解；S(−1 < x < 1)为不稳定平 衡解。同时 ( ) ( ( )) 2 x f x, x 3 3x β = x ′ λ = − 在 x = ±1处变号，所以 ( 2,1 ) P1 − 和 ( ,1 2) P2 − 为分 支点，λ = ±2为分支值，分支图如图(6.13d)所示，称此类型分支点为复合分支点。 （a）鞍结点分支 （b）跨临界分支 （c）叉式分支 （d）复合分支 图(6.13) 二. 二维系统的分支问题 考虑二维一阶系统 ( ) ( ) = = λ λ , , , , g x y dt dy f x y dt dx (6.40)
这里参数元EI,CR,类似于一维系统，我们可以定义平衡点分支，又称局部分支外，还 可以定义大范围分支，如极限环、同宿环和异宿环等分支。可以看到二维系统的单参数分支 类型和性质明显复杂于一维系统。下面我们仅举例说明几个典型例子。 例1考能系统-产的分支向愿 y'=-y 解可以看到系统的第一个方程就是制11中的方程，于是将一维鞍结占分支嵌入到一维相 平面上。即，当<0时，无平衡点：当1=0时，原点是高阶奇点：当>0时，有奇点 (仁√几，0)和W瓦，0。由此可以看到当元越过0时，奇点的个数发生突变，为此1=0是分 支值，如图(6.14)所示。同时再来观察轨线结构随入而变化的情况，当1>0时，由前面$6.2 中的定理2和注5知（√元，0）是不稳定的（正常）结点，而（√，0是一个鞍点，并且随着个 逐渐减小，这两个奇点逐渐靠近：当=0时，它们拼合成一个半鞍半结型的奇点，叫作鞍 结点，而当1<0时，奇点消失。因此称此类型分支为鞍-结点分支。 b)1=0 平面鞍结点分支 图(6.14) 2考定系线江V的分支有愿。 y=x+ly-xf(r) 这里r=√2+y2,而f心)对r≥0连续可微，且0)=0和r>0时有f心)>0. 解计算可知系统只有唯一奇点@0)。其线性近似方程为？x-), 气UY=x+易知特征值为 入土i,可知当入的取值由负变为正时，原系统的奇点(0,0)由稳定焦点变为不稳定焦点。因 此，入=0是分支值。进一步，令Liapunov函数V(k,y)=，(k2+y2),这是一个正定函数， 其沿着原系统线的全号数为货-化-儿.易知当天三0叶，原系统的零都是务额 稳定：当>0时，原系统的零解是不稳定的。同时令x=rcos日，y=rsin0,于是原系统 等价方程为 141
141 这里参数λ ∈ I λ ⊂ R ，类似于一维系统，我们可以定义平衡点分支，又称局部分支外，还 可以定义大范围分支，如极限环、同宿环和异宿环等分支。可以看到二维系统的单参数分支 类型和性质明显复杂于一维系统。下面我们仅举例说明几个典型例子。 例 11 考虑系统 ′ = − ′ = − y y x x 2 λ 的分支问题。 解 可以看到系统的第一个方程就是例 11 中的方程，于是将一维鞍结点分支嵌入到二维相 平面上。即，当λ < 0时，无平衡点；当λ = 0 时，原点是高阶奇点；当λ > 0 时，有奇点 (− λ 0, )和( λ 0, )。由此可以看到当λ 越过 0 时，奇点的个数发生突变，为此λ = 0 是分 支值，如图(6.14)所示。同时再来观察轨线结构随λ 而变化的情况，当λ > 0 时，由前面§6.2 中的定理 2 和注 5 知( λ 0, )是不稳定的（正常）结点，而(− λ 0, )是一个鞍点,并且随着 λ 逐渐减小，这两个奇点逐渐靠近；当λ = 0 时，它们拼合成一个半鞍半结型的奇点，叫作鞍 -结点，而当λ < 0时，奇点消失。因此称此类型分支为鞍-结点分支。 平面鞍结点分支 图(6.14) 例12 考虑系统 ( ) ( ) ′ = + − ′ = − − y x y yf r x x y xf r λ λ 的分支问题。 这里 2 2 r = x + y ，而 f (r)对 r ≥ 0 连续可微，且 f (0) = 0 和 r > 0 时有 f (r) > 0。 解 计算可知系统只有唯一奇点 ( 0,0 )。其线性近似方程为 ′ = + ′ = − y x y x x y λ λ ，易知特征值为 λ ± i ，可知当λ 的取值由负变为正时，原系统的奇点( 0,0 )由稳定焦点变为不稳定焦点。因 此，λ = 0 是分支值。进一步，令 Liapunov 函数 ( ) ( ) 2 2 2 1 V x, y = x + y ，这是一个正定函数， 其沿着原系统轨线的全导数为 r ( ) f ( )r dt dV = λ − 2 ，易知当λ ≤ 0时，原系统的零解是渐近 稳定；当λ > 0 时，原系统的零解是不稳定的。同时令 x = r cosθ, y = rsinθ ，于是原系统 等价方程为
∫r'=a-fr》 18=1 可见，当入≤0时，从相平面任一点出发的轨线，都是沿逆时针方向螺旋式地趋向于原点， 因此原点(0,0)是渐近稳定：当入>0时，原点(0,0)是原系统唯一的不稳定焦点，并且出现 了一个稳定的极限环(~)=入。形象地说，当1的值增大而通过0的一解间，奇点的稳定 性发生翻转，同时一个稳定的极限环从奇点“跳出”，并随入的增大而逐渐扩大。称此类 型分支为Hopf分支如图(6.15)所示 Hopf分支(A<,=,>0) 图(6.15) 5考袋系线少-+小的分支间题 y=x-(2+y2-1- 解考虑系统 (x=-y Iy=x (6.41), 此系统以为(0,0)中心，即有一族闭轨线围绕原点(0,0)。其扰动系统为 x'=-y-x(2+y2-1- y'=x-x2+y2-1- 令x=rcos 6,y=rsin日，则其等价系统为 ∫r'=-r2- 8=1 可见当0<入<1时，扰动系统以圆周x2+y2=1+1为唯一极限环。这于Hopf分支不 同，这里的极限环不是由于焦点的稳定性改变而产生的，事实它不随入→0而收缩到奇点， 而是趋于极限环x2+y2=1形象地说，是系统(6,41)的中心型奇点的闭轨线族中的某一闭 轨，在扰动后不破裂而成为扰动后系统的一条孤立闭轨。此类型分支称为Poincare心分支。 电
142 ( ( )) ′ = ′ = − θ 1 r r λ f r ， 可见，当λ ≤ 0时，从相平面任一点出发的轨线，都是沿逆时针方向螺旋式地趋向于原点， 因此原点( 0,0 )是渐近稳定；当λ > 0 时，原点( 0,0 )是原系统唯一的不稳定焦点，并且出现 了一个稳定的极限环 f (r) = λ 。形象地说，当λ 的值增大而通过 0 的一瞬间，奇点的稳定 性发生翻转，同时一个稳定的极限环从奇点“跳出”，并随着λ 的增大而逐渐扩大。称此类 型分支为 Hopf 分支.如图(6.15)所示 Hopf 分支（λ <,=,> 0 ） 图(6.15) 例 13 考虑系统 ( ) ( ) ′ = − + − − ′ = − − + − − λ λ λ λ 1 1 2 2 2 2 y x y x y x y x x y 的分支问题。 解 考虑系统 ′ = ′ = − y x x y (6.41)， 此系统以为( 0,0 )中心，即有一族闭轨线围绕原点( 0,0 )。其扰动系统为 ( ) ( ) ′ = − + − − ′ = − − + − − λ λ λ λ 1 1 2 2 2 2 y x y x y x y x x y 令 x = r cosθ, y = rsinθ ,则其等价系统为 ( ) ′ = ′ = − − − 1 1 2 θ r λr r λ ， 可见当0 < λ << 1时，扰动系统以圆周 + = 1+ λ 2 2 x y 为唯一极限环。这于 Hopf 分支不 同，这里的极限环不是由于焦点的稳定性改变而产生的，事实它不随λ → 0而收缩到奇点， 而是趋于极限环 1 2 2 x + y = .形象地说，是系统(6.41)的中心型奇点的闭轨线族中的某一闭 轨，在扰动后不破裂而成为扰动后系统的一条孤立闭轨。此类型分支称为 Poincaré 分支