内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准 课程名称：线性代数(A卷) 考试班级： 考试时间： 标准制订人： 一、计算(15分) 003) 1.A=121,求4： 542 国=6=8,4 5分 24=0} 5分 3.若A是3阶矩阵，且其特征值为1、2、3，求4. 解4=6 5分 =·(0分)e4-引多 10分 三、(10分)已知a,a,a,线性无关，又1，a,4,B线性相关，证明B可 用a%,a,a,线性表示. 证：a,a2,a,B线性相关 故有不全为0数k,k2,k,m使ka,+k,a2+k4,+mB=0 2分 B前系数m≠0[反证之】 4分 B=1,a1+2,a2+1a3 4分 四、(15分)已知a,=0,2,3),a2=(2,4,6,a=0,0,-),求a4,a,a的
内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准 课程名称： 线性代数(A 卷) 考试班级： 考试时间： 标准制订人： 一、计算（15 分） 1. 0 0 3 1 2 1 5 4 2 A æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø ，求 2 A ； 解： 1 2 3 3 ( 6) 18 5 4 A == = ´ - = - , 2 A = 324 5 分 2. 1 1 0 1 A æ ö = ç ÷ è ø ，求 n A ； 解： 2 1 2 1 , 0 1 0 1 n n A A é ù é ù = = ê ú ê ú ë û ë û 5 分 3.若 A是 3 阶矩阵，且其特征值为 1、2、3，求 A . 解： A = 6 5 分 二、（10 分）已知 1 2 3 4 A æ ö = ç ÷ è ø ，求 1 A - . 解： 1 1 4 2 2 3 1 A - é ù - = - ê ú ë û - 10 分 三、（10 分）已知 1 2 3 a , , a a 线性无关，又 1 2 3 a ,a , , a b 线性相关，证明 b 可 用 1 2 3 a , , a a 线性表示. 证： 1 2 3 Qa ,a , , a b 线性相关， 故有不全为 0 数 1 2 3 k , k , , k m使 1 1 2 2 k k a a + 3 3 +k a + = mb 0 2 分 b 前系数m ¹ 0 [反证之] 4 分 1 1 2 2 3 3 b = la + + l a l a 4 分 四、（15 分）已知 1 a = (1,2,3) ， 2 a = (2,4,6) ， 3 a = - (1,0, 1) ，求 1 2 3 a , , a a 的
极大无关组及向量组的秩 解：(a,a',a,)=240 36-000 5分 极大无关组为a,a,或a2,a,秩为2 10分 五、(10分)写出x+x+x=0的基础解系. -1 10分 六、(15分)间以为何值时、方程组有准解、无多组新 并写出通解、无解 解：入≠±1有唯一解 5分 A-1有无穷多解、X-)0任意 5分 入=-1有无穷多解， 5分 七、(10分)已知4的特征值为计又4与B相似。上证明8可运， 2.求B的特征值. 证：=4故B可递 5分 B的特征值为2、3、4 5分 八、(15分)用配方法把f=x2+6x2+x2+2x2+2x3标准化，∫是否 正定？理由？ 解1=低+6+-( 5分 5分 00-5
极大无关组及向量组的秩. 解：( 1 , 2 , 3 ) = T T T a a a 1 2 1 2 4 0 3 6 1 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø - ～ 1 2 1 0 0 2 0 0 0 æ ö ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø 5 分 极大无关组为 1 3 a a, 或 2 3 a a, ，秩为 2 10 分 五、（10 分）写出 1 2 3 x + x x + = 0的基础解系. 解： 1 1 1 0 x æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø ， 2 1 0 1 x æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø 10 分 六、（15 分）问l 为何值时，方程组 1 2 1 2 x x 1 x x l l l ì + = í î + = 有唯一解、无穷多组解 并写出通解、无解. 解： l ¹ ±1有唯一解 5 分 l = 1有无穷多解， 0 1 1 0 X k æ ö æ ö = + ç ÷ ç ÷ è ø è ø ，k 任意 5 分 l = -1有无穷多解， 1 1 0 0 X k æ ö æ ö - = + ç ÷ ç ÷ è ø è ø ，k 任意 5 分 七、（10 分）已知 A的特征值为 111 , , 234 ，又 A与 B 相似，1.证明 B 可逆； 2.求 1 B - 的特征值. 证： 1 24 B A = = ，故 B 可逆 5 分 1 B - 的特征值为 2、3、4 5 分 八、（15 分）用配方法把 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 f = x + 6x + x + + 2 2 x x x x 标准化， f 是否 正定？理由？ 解： ( ) 2 2 2 3 3 1 2 3 2 5 5 5 x x f x x x x æ ö = + + - - - ç ÷ è ø 5 分 1 1 6 0 1 1 0 0 5 X Y æ ö - ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ è ø - 使 2 2 2 3 1 2 5 5 y f = y y - - 5 分
不正定，因-5、为负值 5分
不正定， 因 - 5 、 15 - 为 负 值 5 分