《线性代数》B卷参考答案 一、选择题（每题5分，共30分） I、C2、D3、A4、C5、C6、B 二、填空题（每题3分，共30分） w.6:a)a:e08s=a- (4)R(A)≠R(A,b), R(A)=R(A.b)=n.R(A)=R(A.b)<n: (5)3:(6)6. 二、计算题（共3题，共40分，前两题各10分，最后一题20分） 31） (132100) 100126 (4,E)=021010~01001 003001 00 、解：因系数矩阵A为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是≠0.而 111+入 因此，当入≠0且入≠3时，方程组有唯一解。 当=0时 11101110 B=1113 0001 知R()=L,R(B)=2,故方程组无解 1110 0000 当入=3时 -211010-1-1 B=1-213 01-1-2知A)=RB)=2,故方程组有无穷多个解，且通解为 11-2-30000 (-1 X2 =1+-2c∈R) 0
《线性代数》B 卷参考答案 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1、C 2、D 3、A 4、C 5、C 6、B 二、填空题（每题 3 分，共 30 分） （1）1， ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - 3 2 2 1 ； （2） A B -1 ; (3) , 1 0 , 0 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 3 , b = a1 - a 2 （4） R(A) ¹ R(A, b)， R (A ) = R (A, b ) = n, R (A ) = R (A, b ) < n ； （5）-3；（6）6. 二、计算题（共 3 题，共 40 分，前两题各 10 分，最后一题 20 分） 1、解： ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + = 2 1 6 3 4 1 2 3 2 2 1 3 3 2 0 1 0 0 0 0 3 0 2 1 1 3 2 T A A ( ) ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 1 0 0 0 1 0 0 3 0 2 1 0 3 2 1 0 0 1 A, E ～ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - - - 3 1 6 1 6 1 0 2 1 2 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ,则 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - - - = - 3 1 0 0 6 1 2 1 0 6 1 2 3 1 1 A . 2、解： 因系数矩阵 A 为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是 A ¹ 0. 而 (3 ) , 0 0 0 0 1 1 1 (3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 l l l l l l l l l l l = + = + + = + + + + + A = 因此，当 l ¹ 0 且 l ¹ 3 时，方程组有唯一解。 当 l = 0 时 0 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B = ～ , 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 知 R(A) = 1, R(B) = 2 ，故方程组无解 当 l = 3 时 3 3 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 - - - - B = ～ , 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 - - - - 知 R(A) = R(B) = 2 ，故方程组有无穷多个解，且通解为 c (c R) x x x Î ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 0 2 1 1 1 1 3 2 1
3、解：由于41,2成比例，则此向量组必线性相关。将向量组所对应矩阵，经过初等行变换化为行最简 (1311) 1311) 1300 -2-60-4 0026 0010 a,a,aa33-i004-20001 (001100-110000 则a1,a3,a4线性无关，且有a2=31。 4、解：求A的特征多项式 久-3-2-4 2E-A=-21-2=(+1)2(2-8) -4-21-3 则A的特征根为入=-1（二重），2=-8。 -4-2-4 对入=-1，(4-E)=-2-1-2 ,可得它的一个基础解系为 -4-2-4 -1 1 a1=(12,0),a2=(10,将其正交单位化后得P1= 2/ 52 50 5-2-4 对2=8，(4-2E)=-28-2可得它的一个基础解系为 -4-25 2Y a3=(（2,12,单位化后得P1= 1 2 则所求正交阵为P=(p1,P2,P3)
3、解：由于 1 2 a , a 成比例，则此向量组必线性相关。将向量组所对应矩阵，经过初等行变换化为行最简 行 ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - = 0 0 1 1 1 3 3 1 2 6 0 4 1 3 1 1 , , , a1 a2 a3 a4 ～ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - 0 0 1 1 0 0 4 2 0 0 2 6 1 3 1 1 ～ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3 0 0 则 1 3 4 a , a , a 线性无关，且有 a2 = 3a1 。 4、解：求 A 的特征多项式 ( 1) ( 8) 4 2 3 2 2 3 2 4 2 = + - - - - - - - - - - = l l l l l lE A , 则 A 的特征根为 l1 = -1（二重）， l2 = -8。 对 1 l1 = - ， ( ) ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - - - - = 4 2 4 2 1 2 4 2 4 A l1E ,可得它的一个基础解系为 ( ) ( ) T T a1 = -1,2,0 ,a2 = -1,0,1 ,将其正交单位化后得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - - = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = 1 5 2 5 4 3 2 , 0 2 1 5 1 1 2 p p ， 对 8 l2 = ， ( ) , 4 2 5 2 8 2 5 2 4 2 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - - - - A - l E = 可得它的一个基础解系为 ( ) T a3 = 2,1,2 ，单位化后得 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 2 1 2 3 1 p1 则所求正交阵为 ( ) 1 2 3 P = p , p , p