向量的内积、长度及正交性 定义：设有n维向量x 令[x习=+x乃+.+x八，[xy称 为向量x与y的内积。 结论：两个实向量的内积为一个实数，若x与y都是列向量，则[x,小=xy 内积的性质：（其中x,y,:为n维向量，入为实数） (1)[x=[y, (2)[2x,y川=[x, (3)[x+y]=[x,+[以，] (4)当x=0时，[x,=0,当x≠0时，[x,]>0 根据上述性质可以得到如下的施瓦茨不等式：[x,小≤[飞，[y川 例：给定三维空间中的两个点（向量），我们可以计算两个向量的内积，两个向 量的夹角，据此，我们将夹角的概念推广到维空间。 定义：令=x,d=√2+x2+.x2,x称为n维向量x的长度（或范数）。 定义：当=1时，称x为单位向量。 向量长度的性质： (1)非负性当x≠0时，>0，当x=0时，=0 (2)齐次性2x= (3)三角不等式x+≤+川 夹角：当x≠0，y≠0时，我们定义0=ac0s】050S元.为n维向量x与y的 夹角。 例：若a=(1223),B=(315),.求∠(a,B)
向量的内积、长度及正交性 定义：设有n 维向量 1 1 2 2 , n n x y x y x y x y æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø M M ，令[ ] 1 1 2 2 , n n x y = x y + x y + + L x y ，[ x y, ]称 为向量 x 与 y 的内积。 结论：两个实向量的内积为一个实数，若 x 与 y 都是列向量，则[ , ] T x y = x y 内积的性质：（其中 x, , y z 为n 维向量，l 为实数） （1）[ x, , y] = [ y x] （2）[l l x, , y] = [ x y] （3）[ x + y,z] = + [ x, , z] [ y z] （4）当 x = 0时，[ x x, 0 ] = ，当 x ¹ 0 时，[ x x, 0 ] > 根据上述性质可以得到如下的施瓦茨不等式：[ ] [ ][ ] 2 x, y £ x, , x y y 例：给定三维空间中的两个点（向量），我们可以计算两个向量的内积，两个向 量的夹角，据此，我们将夹角的概念推广到n 维空间。 定义：令 [ ] 2 2 2 1 2 , n x = x x = x + + x x L ， x 称为 n 维向量 x 的长度（或范数）。 定义：当 x = 1时，称 x 为单位向量。 向量长度的性质： （1）非负性 当 x ¹ 0 时， x > 0 ，当 x = 0时， x = 0 （2）齐次性 l l x x = （3）三角不等式 x + y £ + x y 夹角：当 x y ¹ ¹ 0, 0 时，我们定义 [ , ] arccos ,0 . x y x y q = £ £ q p 为n 维向量 x 与 y 的 夹角。 例：若a b = = (1 2 2 3), (3 1 5 1), . 求Ð(a b, )
例：若a=(-111,B=(-1110,求∠(a,B) 结论：当[x,=0时，称向量x与y正交。显然，若x=0,则x与任何向量都正 交。 定理：若n维向量a,4,.,a,是一组两两正交的非零向量，则a,4,.,a,线性无 关。 例：已知3维向量空间R中两个向量a 向量a,使a,4,4两两正交。 定义：设n维向量e,e,是向量空间VWcR")的一个基，如果e,e,两 两正交，且都是单位向量，则称g,马，e,是VWC)的一个规范正交基。 坐标：若e,2,.,e,是VWcR")的一个规范正交基，郑么VWcR")中任一向量 a应能由g,6,.,e,线性表示，设表示式为a=,g+2,9+.+2,e,其中的系数 入，2，.，入，为a在基，2，e,下的坐标。为求左边，将等式 a=e+入g+.+入，e,两端同时乘以e。 施密特正交化：设a,a,.,a,是向量空间V(WcR)的一个基，要求VWcR") 的一个规范正交基，就是找到一组等价的向量？，.，在新的这组向量中， 每个都是单位向量，且任何两个向量都是正交的， 我们首先将向量a,a2,.,a,规范化： B.=a A=食4 +.4. A6报a分品 则容易验证B,B2,.,B,两两正交，且与a,a2,.,a,等价
例：若 ( 111 1) , ( 1 1 1 0) T T a b = - = - ，求Ð(a b, ) 结论：当[ x y, 0 ] = 时，称向量 x 与 y 正交。显然，若 x = 0，则 x 与任何向量都正 交。 定理：若 n 维向量 1 2 , r a a a L 是一组两两正交的非零向量，则 1 2 , , , r a a a L 线性无 关。 例：已知 3 维向量空间 3 R 中两个向量 1 1 1 1 a æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø ， 2 1 2 1 a æ ö = -ç ÷ ç ÷ è ø 正交，试求一个非零 向量 3 a ，使 1 2 3 a , , a a 两两正交。 定义：设 n 维向量 1 2 , , , r e e e L 是向量空间 ( ) n V V R Ì 的一个基，如果 1 2 , , , r e e e L 两 两正交，且都是单位向量，则称 1 2 , , , r e e e L 是 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基。 坐标：若 1 2 , , , r e e e L 是 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基，那么 ( ) n V V R Ì 中任一向量 a 应能由 1 2 , , , r e e e L 线性表示，设表示式为 1 1 2 2 r r a = l e + l l e e + + L ，其中的系数 1 2 , r l l l L 为 a 在 基 1 2 , , , r e e e L 下 的 坐 标 。 为 求 左 边 ， 将 等 式 1 1 2 2 r r a = l e + l l e e + + L 两端同时乘以 T i e 。 施密特正交化：设 1 2 , , , a a a L r 是向量空间 ( ) n V V R Ì 的一个基，要求 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基，就是找到一组等价的向量 1 2 , , , r e e e L ，在新的这组向量中， 每个都是单位向量，且任何两个向量都是正交的。 我们首先将向量 1 2 , , , a a a L r 规范化： b a 1 1 = [ ] [ ] 1 2 2 2 1 1 1 , , b a b a b b b = - LLL [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1 r 1 2 1 1 1 2 2 1 1 , , , , , , r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b - - - - = - - - - L 则容易验证 1 2 , , , r b b b L 两两正交，且与 1 2 , , , a a a L r 等价
然后将其单位化、令6“同A。6产风8.6“同可8个 ,试用施密特正交化过程把这组向量规范正 交化。 ,求一组非零向量a,a,使a,4,4两两正交 定义：如果n阶矩阵A满足AA=E(即=A),那么称A为正交矩阵，简称 正交阵。 结论：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量都是单位向量，且两 两正交。 结论：n阶正交矩阵A的n个列（行）向量构成向量空间R的一个规范正交基。 正交矩阵的性质： (1)若A为正交阵，则A=A也是正交阵，且4=1或- (2)若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵。 定义：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。 结论：正交变换前后向量的范数不变。 例：判断下列矩阵是否为正交矩阵 -11) 1 8 Γ23 迈 迈 -g 海 0 1 1-2 0 26 89 1-9 0 12 -1 1 -3 4-970 1
然后将其单位化，令 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , r r r e b e e b b b b b = = = L 。 则 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , r r r e b e e b b b b b = = = L 就是 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基。 例：设 1 2 3 1 1 4 2 , 3 , 1 1 1 0 a a a æ ö æ - ö æ ö = ç ÷ = ç ÷ = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è - ø è ø è ø ，试用施密特正交化过程把这组向量规范正 交化。 例：已知 1 1 1 1 a æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø ，求一组非零向量 2 3 a a, ，使 1 2 3 a , , a a 两两正交。 定义：如果 n 阶矩阵 A满足 T A A E = （即 1 T A A - = ），那么称 A为正交矩阵，简称 正交阵。 结论：方阵 A为正交阵的充分必要条件是 A的列（行）向量都是单位向量，且两 两正交。 结论：n 阶正交矩阵 A 的n 个列（行）向量构成向量空间 n R 的一个规范正交基。 正交矩阵的性质： （1）若 A为正交阵，则 1 T A A - = 也是正交阵，且 A = 1或-1 （2）若 A和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵。 定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 结论：正交变换前后向量的范数不变。 例：判断下列矩阵是否为正交矩阵 1 1 1 2 3 1 0 1 2 1 1 1 2 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - è ø ， 1 1 1 2 2 6 1 2 0 , 2 6 1 1 1 2 2 6 æ ö - ç ÷ - è ø 1 8 4 9 9 9 8 1 4 9 9 9 4 4 7 9 9 9 æ ö - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - è ø ， 1 1 1 3 2 6 1 2 0 3 6 1 1 1 3 2 6 æ ö - ç ÷ - è ø
方阵的特征值与特征向量 定义：设A是n阶矩阵，如果数元和n维非零列向量x使关系式Ax=元x成立，那 么，这样的数入称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值入的特 征向量。 结论：将上式进行变换，可以得到(4-元E)x=0,而(A-入E)x=0有非零解的充 分必要条件是A-入E=0 结论：上式是以入为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程。其左端 A-元E是入的n次多项式，记作f(),称为矩阵A的特征多项式。 特征值的性质：设n阶矩阵A=(a)的特征值为2，入2，.，入，则： (1)12.=4 (2)1+22+.+元n=a1+a2+.+a 结论：设入=入为矩阵A的一个特征值，则根据方程(4-入，E)x=0可求的非零解 x=P,则x=P为对应于特征值入=入的特征向量，而x=知，也为对应于特征值 入=入的特征向量。 (-211 例：求矩阵A=020的特征值和特征向量。 (-413 (-31 -1 例：求矩阵A=-75-1的特征值和特征向量。 (-66-2 (-110 例：求矩阵A=-430的特征值和特征向量。 102 特征值的性质： (1)若入是方阵A的特征值，则22是方阵？的特征值 (2)若入是方阵A的特征值，则二是方阵A的特征值
方阵的特征值与特征向量 定义：设 A是n 阶矩阵，如果数l 和n 维非零列向量 x 使关系式 Ax x = l 成立，那 么，这样的数l 称为矩阵 A的特征值，非零向量 x 称为 A的对应于特征值l 的特 征向量。 结论：将上式进行变换，可以得到 (A - = lE x) 0，而(A - = lE x) 0有非零解的充 分必要条件是 A E - = l 0 结论：上式是以 l 为未知数的一元 n 次方程，称为矩阵 A 的特征方程。其左端 A E - l 是l 的n 次多项式，记作 f ( ) l ，称为矩阵 A的特征多项式。 特征值的性质：设n 阶矩阵 ( ) A a = ij 的特征值为 1 2 , , , l l l L n ，则： （1）l1 2 l l L n = A （2） 1 2 n 11 22 nn l + l l +L L + = a + a a + + 结论：设 i l l = 为矩阵 A的一个特征值，则根据方程( ) 0 A - = liE x 可求的非零解 i x p = ，则 i x p = 为对应于特征值 i l l = 的特征向量，而 i x = kp 也为对应于特征值 l l = i 的特征向量。 例：求矩阵 211 0 2 0 4 1 3 A æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø - 的特征值和特征向量。 例：求矩阵 3 1 1 7 5 1 6 6 2 A æ ö - - ç ÷ = - - ç ÷ ç ÷ è ø - - 的特征值和特征向量。 例：求矩阵 1 1 0 430 1 0 2 A æ ö - ç ÷ = -ç ÷ ç ÷ è ø 的特征值和特征向量。 特征值的性质： （1）若l 是方阵 A 的特征值，则 2 l 是方阵 2 A 的特征值 （2）若l 是方阵 A的特征值，则 1 l 是方阵 1 A - 的特征值
(3)若入是方阵A的特征值，则入是方阵A心的特征值 (4)若元是方阵A的特征值，则(2)是方阵p(A)的特征值 其中：0(2)=a。+a,入+.+an入"，0(4)=aE+a,A+.+amAm (5)方阵A的主对角线上的元素之和称为方阵A的迹.记为 r(4)-∑a=∑. (6)互异特征值对应的特征向量线性无关。 例：设三阶矩阵A的特征值为1,2,0，求2E+34 例：设入，和2，是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为乃和户， 证明+P2不是A的特征向量
（3）若l 是方阵 A 的特征值，则 k l 是方阵 k A 的特征值 （4）若l 是方阵 A的特征值，则j l( ) 是方阵j( ) A 的特征值 其中： 0 1 ( ) m m j l = a + a a l l + + L ， 0 1 ( ) m A m j = a E + a A + + L a A （ 5 ） 方 阵 Ａ 的 主 对 角 线 上 的 元 素 之 和 称 为 方 阵 Ａ 的 迹 . 记 为 ( ) . ii i tr A a = = å ål （6）互异特征值对应的特征向量线性无关。 例：设三阶矩阵 A的特征值为1, 2,0，求 2 2 3 E A + 。 例：设l1和l2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 1 p 和 2 p ， 证明 1 2 p p + 不是 A 的特征向量