《泛函分析》课程教学资源（授课教案讲义，共十七讲）

《泛品分析》教素

《泛函分析》教案

目录 第一讲距离空间的基本概念 1-9 第二讲距离空间中的点集 10-14 第三讲完备距离空间 15-21 第四讲压缩映射原理」 22-29 第五讲拓扑空间的基本概念 30-31 第六讲紧性 32 第七讲距离空间中的紧性. .33-41 第八讲讲解习题 .42-49 第九讲赋范空间的基本概念 50-60 第十讲空间L .61-74 第十一讲赋范空间进一步的性质 .75-80 第十二讲有穷维赋范空间 81-85 第十三讲讲解习题 86-94 第十四讲有界线性算子与有界线性泛函. 95-108 第十五讲Banach-Steinhaus定理及其某些应用 109-114 第十六讲开映射定理与闭图像定理 115-129 第十七讲Hahn-Banach定理及其推论 130-138 注本教案根据刘炳初老师编著的科学出版社出版的《泛函分析》教材而写

目 录 第一讲 距离空间的基本概念.1-9 第二讲 距离空间中的点集.10-14 第三讲 完备距离空间.15-21 第四讲 压缩映射原理.22-29 第五讲 拓扑空间的基本概念.30-31 第六讲 紧性.32 第七讲 距离空间中的紧性. .33-41 第八讲 讲解习题. . .42-49 第九讲 赋范空间的基本概念.50-60 第十讲 空间 P L .61-74 第十一讲 赋范空间进一步的性质.75-80 第十二讲 有穷维赋范空间.81-85 第十三讲 讲解习题.86-94 第十四讲 有界线性算子与有界线性泛函.95-108 第十五讲 Banach-Steinhaus 定理及其某些应用.109-114 第十六讲 开映射定理与闭图像定理.115-129 第十七讲 Hahn-Banach 定理及其推论.130-138 注 本教案根据刘炳初老师编著的科学出版社出版的《泛函分析》教材而写

第一章距离空间与拓扑空间 本章主要讨论距离空间的基本概念：空间中距离的定义、距离空间中点列收 敛的定义、Cauchy列，空间的完备性、空间的可分性、等距映射、同胚映射、 开映射和同胚映射等和几个重要的定理如：Bair纲定理、Ascoli-Arzela定理和压 缩映射原理 第一讲距离空间的基本概念 教学目的 掌握距离空间的定义和几个特殊空间中距离的定义 教学要点 1每一个连续函数看做是距离空间C[a,b]中的一个点；每一个n元向量 是R”空间中的一个点等，掌握距离空间中点的含义与平面上或空间中点的含义 的区别与联系： 2掌握C[a,b]、R"和S空间中点列收敛的具体含义： 3掌握连续映射和等距映射的定义」 先回忆一下在数学分析中C[a,b]表示什么？大家都知道C[a,b表示区间a,b] 所有连续函数的全体；在实变函数中[E,B,表示集合E上所有勒贝格可积分 函数的全体，是一个集合如果把集合(C[a,b],或E,B,川)中的每一个元素 看作一个点，并在集合的任意两个点之间定义一个距离，则集合就成了距离空间 那么如何在集合中引入距离的定义呢？而且这个引入的距离和我们已知的二维 和三维空间中的距离不矛盾.这个距离可以如下给出 定义1设X是任一非空集合，对X中任意的两点x,y有一实数d(k,y)与 之对应且满足下列三条件： 1)dk,y)≥0：且dx,y)=0当且仅当x=y: 2)d(x,y)=d(y,x):

1 第一章 距离空间与拓扑空间 本章主要讨论距离空间的基本概念：空间中距离的定义、距离空间中点列收 敛的定义、Cauchy 列，空间的完备性、空间的可分性、等距映射、同胚映射、 开映射和同胚映射等和几个重要的定理如：Bair 纲定理、Ascoli-Arzela 定理和压 缩映射原理. 第一讲 距离空间的基本概念 教学目的 掌握距离空间的定义和几个特殊空间中距离的定义 教学要点 1 每一个连续函数看做是距离空间 C[a, b]中的一个点；每一个 n 元向量 是 R n 空间中的一个点等，掌握距离空间中点的含义与平面上或空间中点的含义 的区别与联系； 2 掌握 C[a, b]、R n 和 S 空间中点列收敛的具体含义； 3 掌握连续映射和等距映射的定义. 先回忆一下在数学分析中C[a, b]表示什么？大家都知道C[a, b]表示区间[a, b] 所有连续函数的全体； 在实变函数中 LE ,B, 表示集合 E 上所有勒贝格可积分 函数的全体，是一个集合.如果把集合（C[a, b]，或 LE ,B, ）中的每一个元素 看作一个点，并在集合的任意两个点之间定义一个距离，则集合就成了距离空间. 那么如何在集合中引入距离的定义呢？而且这个引入的距离和我们已知的二维 和三维空间中的距离不矛盾. 这个距离可以如下给出. 定义 1 设 X 是任一非空集合，对 X 中任意的两点 x，y 有一实数 dx, y 与 之对应且满足下列三条件： 1） d x,y   0 ；且 dx, y  0 当且仅当 x  y ； 2） dx, y  dy, x ；

3)d(x.y)sd(x,=)+d(=.y): 则称d(x,y)为X中的一个距离，称X集为一个距离空间，记为(K,d) 常见的距离空间 例1Ca,b小，x),)eC[a,b小，定义 d(x.y)=max()-() 验证距离的三个条件：1)，2)显然 3)0)eCa,b小，下证d(x0)≤dx),》+d(e0))成立. d(x.y)=max()-() =m0)-0)+0)-0 ≤m0-0+a0)-0) =dx,)+d(e,y以 dx,y)=max()-t≤dk,+de,y以. [a,b上的连续函数全体即C[a,b,赋以上距离空间d是一个距离空间，记为 Cla.b]. 例2设X是n元实数组全体，定义 川2.-， 其中x=作，5》y=,n)∈X 验证距离空间三条件： 1),2)显然： 3)z=65a,5)e 下证dxy)sdx,)+de,y) 要使上式成立，即要求下式成立

2 3) dx, y  dx,z dz, y ； 则称 dx, y 为 X 中的一个距离，称 X 集为一个距离空间，记为 X , d . 常见的距离空间 例 1 Ca,b，xt, ytCa,b，定义 dx y xt yt a t b     , max . 验证距离的三个条件：1），2）显然. 3） ztCa,b，下证 dxt, yt dxt,zt dzt, yt 成立. dx y xt yt a t b     , max xt zt zt yt a t b       max xt zt zt yt a t b a t b         max max  dx,z dz, y. 即 dx y xt yt dx z dz y a t b ,  max   ,  ,   . a,b 上的连续函数全体即 Ca,b, 赋以上距离空间 d 是一个距离空间，记为 Ca,b. 例 2 设 X 是 n 元实数组全体，定义     2 1 ,    n k d x y  k k ， 其中   x   1, 2 , ， n ，y  1,2 , ，n   X 验证距离空间三条件： 1），2）显然； 3） z   1, 2 ,  , n   X , 下证 dx, y  dx,z dz, y. 要使上式成立，即要求下式成立：

名6-fs含6-，[5-月 即要求成立 26-6+6-ns2-sf月+2，-nj月 两边同时平方 2,-s+2空后，-sk,-+6-n -j+么e-fj〔26-j+2,- 即 26-5k-s-[26,-j月 由柯西不等式知上式成立 把上述空间记为R 例3空间s设实数列}的全体X,x=气，品，5.∈X, -h大x北小宫2是 然成立.下验证3)成立 3》2=,s.6,e,下证d小s,+水成立 考虑小上的丽数p0-名0-00，所以0适描 k小含# 1≤1，单调递增 s元15-s+5:- 台2*1+5-s+5s-n

3       2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2                                    n i i i n i i i n i  i i     , 即要求成立       2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2                                      n i i i n i i i n i  i  i  i i     . 两边同时平方        2 1 i 1 2 1  2           n i i i i n i i i n i  i  i               2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1  2                               n i i i n i i i n i i i n i  i  i       . 即        2 1 1 2 2 1 1 2 1                            n i i i n i i i i i n i  i  i       . 由柯西不等式知上式成立. 把上述空间记为 n R 例 3 空间 s. 设实数列  k  的全体 X， x   1, 2 ,  , n,   X ， y  1 ,2 ,  ,n ,  X , 定义：   k k k k k d x y k            2 1 1 , 1 . 则 1），2）显 然成立. 下验证 3）成立. 3） z   1, 2 ,  n   X ，下证 d x,y   d z,x   d z,y  成立. 考虑 0， 上的函数   t t t   1  ，     0 1 1 2     t  t ，所以 t 递增.   k k k k k d x y            2 1 1 , 1 k k k k k k k k k k k                    2 1 1 1 t  t ，单调递增 k k k k k k k k k k                    2 1 1 1