3-1矩阵的初等变换与线性方程组 1.消元法解线性方程组 问题的提出：前面我们看到，对于有n个未知数，n个方程的线性方程组，我们 可以通过克拉默法则来求解。而现实世界中经常有这样的方程组，在个未知数 的方程组中，只有m个方程，若m<n,则方程组的系数构不成行列式，所以不 能通过克拉默法则求解，那么，我们今天来讨论这类方程的求解问题。 2x-x-x+x=2 例如：求解线性方程组{x+x2-2x+x=4 4x-6x2+2x3-2x4=4 2x-x3-x+x=2 解：利用消元法： x+x-2x+x=4 4x-6x2+2x-2x4=4 [x+x2-2x+x4=4 2%-为-为+x=2 4x-6x2+2x-2x=4 x+x-2x+x=4 2x-2-为+=2 2x-3x2+x3-x=2 +为2-2x+x=4 -3x2+3x-x,=-6 -2x2+2x-2x=0 x+x2-2x+x=4 3-为+x=0 x4=-3 用“回代”的方法求出解：于是解得 x=x3+4 书=为+3 x4=-3 其中x为任意取值.或令x=c,方程组的解可记作
3-1 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 消元法解线性方程组 问题的提出：前面我们看到，对于有 n 个未知数，n 个方程的线性方程组，我们 可以通过克拉默法则来求解。而现实世界中经常有这样的方程组，在 n 个未知数 的方程组中，只有 m 个方程，若 m n < ，则方程组的系数构不成行列式，所以不 能通过克拉默法则求解，那么，我们今天来讨论这类方程的求解问题。 例如：求解线性方程组 1 234 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 4 4 6 2 2 4 x xxx x x x x x x x x ì - - + = ï í + - + = ï - + - = î 解：利用消元法： 1 234 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 4 4 6 2 2 4 x x x x x x x x x x x x ì - - + = ï í + - + = ï - + - = î 1 2 3 4 1 234 1 2 3 4 2 4 2 2 4 6 2 2 4 x x x x x x x x x x x x ì + - + = ï í - - + = ï - + - = î 1 2 3 4 1 234 1 2 3 4 2 4 2 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x ì + - + = ï í - - + = ï - + - = î 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4 3 3 6 2 2 2 0 x x x x x x x x x x ì + - + = ï í- + - = - ï- + - = î 1 2 3 4 2 3 4 4 2 4 0 3 x x x x x x x x ì + - + = ï í - + = ï î = - 用“回代”的方法求出解： 于是解得 1 3 2 3 4 4 3 3 x x x x x ì = + ï í = + ï î = - 3 其中x 为任意取值. 3 或令x c = ,方程组的解可记作
c+4) 2. 矩阵的初等变换 上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数项进行变换，未知数并未参加 运算，即在求解方程组得过程就是对增广矩阵进行行变换的过程。变换可以归结 为三种。即： 1、互换两行：5《5 2、数乘某行：，'k 3、某行的k倍加到另一行：，+如 而且，这三种变换都是可逆的，而且逆变换与原变换类型相同， 万《)逆变换)《： 万：逆变换，专 r+如逆变换r-: 我们将这三种变换叫做矩阵的初等行变换。 类似的，我们可以定义矩阵的初等列变换， 矩阵的初等行变换和初等列变换统称作矩阵的初等变换。 定义：如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B就称矩阵A与B行等价，记 作A二B。 定义：如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B就称矩阵A与B列等价，记 作AB。 定义：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B就称矩阵A与B等价，记作 AB。 等价关系的性质： (1)反身性：A~A (2)对称性：若A~B,则B~A
1 2 3 4 4 3 , 3 x c x c x x c x æ ö æ ö + ç ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø - 即 1 2 3 4 1 4 1 3 , 1 0 0 3 x x x c x x æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø - 2. 矩阵的初等变换 上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数项进行变换，未知数并未参加 运算，即在求解方程组得过程就是对增广矩阵进行行变换的过程。变换可以归结 为三种。即： 1、互换两行： i j r r « 2、数乘某行： i r k ´ 3、某行的k 倍加到另一行： i j r + kr 而且，这三种变换都是可逆的，而且逆变换与原变换类型相同， i j r r « 逆变换 ; i j r r « i r k ´ 逆变换 1 i r k ´ i j r + kr 逆变换 i j r - kr 我们将这三种变换叫做矩阵的初等行变换。 类似的，我们可以定义矩阵的初等列变换， 矩阵的初等行变换和初等列变换统称作矩阵的初等变换。 定义：如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B 就称矩阵 A 与 B 行等价，记 作 ~ r A B 。 定义：如果矩阵 A经过有限次初等列变换变成矩阵 B 就称矩阵 A与 B 列等价，记 作 ~ c A B 。 定义：如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B ~ 。 等价关系的性质： （1）反身性： A A ~ （2）对称性：若 A B ~ ，则 B A ~
(3)传递性：若A~B,B~C,则A~C 定义：行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准型矩阵。 结论：可用数学归纳法证明任何一个矩阵A经过一系列的初等变换都可以变作标 准型。 3.初等矩阵 初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 结论：三种初等变换对应三种初等矩阵， 1.0 1、E6,) 0.1 (1 2、E(ik) 3、E,jk)》 1 结论：对矩阵进行一次初等行变换相当于在矩阵的左边乘以一个初等矩阵，对矩 阵进行一次初等列变换相当于在矩阵的右边乘以一个初等矩阵。 结论：方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵A,P2,.,P。,使 A=P P:P
（3）传递性：若 A B ~ ， B C~ ，则 A C~ 定义：行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准型矩阵。 结论：可用数学归纳法证明任何一个矩阵 A经过一系列的初等变换都可以变作标 准型。 3.初等矩阵 初等矩阵：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 结论：三种初等变换对应三种初等矩阵。 1、 E(i j , ) 1 1 0 0 1 1 æ ö ç ÷ è ø O L M M L O 2、 E(i k( )) 1 1 1 1 k æ ö ç ÷ è ø O O 3、 E(i, j k( )) 1 1 1 1 k æ ö ç ÷ è ø O O O 结论：对矩阵进行一次初等行变换相当于在矩阵的左边乘以一个初等矩阵，对矩 阵进行一次初等列变换相当于在矩阵的右边乘以一个初等矩阵。 结论：方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 1 2 , , , n p p p L ，使 A 1 2 n = p p p L
4.初等矩阵的应用 定理：设A与B为m×n矩阵，那么： 1)A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B 2)A~B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B 3)A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B 推论：方阵A可逆的充分必要条件是AE 推论：若方阵A可逆，则将矩阵(A:E)经过初等行变换，将A变换为E后，则E 将变为。 推论：若方阵A可逆，则将矩阵(A:B)经过初等行变换，将A变换为E后，则B 将变为AB。 (51-2)1-3 例：用初等变换解矩阵方程：AX=X+B,其中A=231,B=22 3103-1 例：将矩阵(A:B)利用初等变换化为行阶梯形，再化为行最简形，最后化为标准形 1-22-1 1 2-480 -24-23 .8s 3 3-60-6 4 在本课程中，我们只讨论行变换，列变换我们一般不用，那么形如XA=B方程 组如何解呢，我们可以将方程组得两端同时取转置。 3-2矩阵的秩 定义(k阶子式)：在m×n的矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行列交叉的 元素不改变它们在矩阵A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的
4.初等矩阵的应用 定理：设 A与 B 为m n ´ 矩阵，那么： 1） ~ r A B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵 P ，使 PA B = 2） ~ c A B 的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q，使 AQ B = 3）A B ~ 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 和n 阶可逆矩阵Q，使 PAQ B = 推论：方阵 A可逆的充分必要条件是 ~ r A E 推论：若方阵 A可逆，则将矩阵(A E: )经过初等行变换，将 A变换为 E 后，则 E 将变为 1 A - 。 推论：若方阵 A可逆，则将矩阵(A B: ) 经过初等行变换，将 A 变换为 E 后，则 B 将变为 1 A B- 。 例：用初等变换解矩阵方程： AX = + X B ，其中 5 1 2 1 3 2 3 1 , 2 2 3 1 0 3 1 A B æ - - ö æ ö ç ÷ ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø - 例：将矩阵(A B: )利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 A B æ - - ö æ ö ç ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ = = ç - - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è - - ø è ø 例：求矩阵 0 2 1 3 0 2 2 3 0 é ù - ê ú - ê ú ë û - 的逆矩阵。 在本课程中，我们只讨论行变换，列变换我们一般不用，那么形如 XA B = 方程 组如何解呢，我们可以将方程组得两端同时取转置。 3-2 矩阵的秩 定义（k 阶子式）：在m n ´ 的矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列，位于这些行列交叉的 元素不改变它们在矩阵 A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式，称为矩阵 A 的
k阶子式。 100 举例：A=010 110 定义（矩阵秩）：设在矩阵A中有一个不等于0的k阶子式D,且所有k+1阶子 式（如果存在的话）都等于0，那么D称为A的最高阶非零子式（最高阶非零子 式不一定唯一)，数k称为矩阵A的秩，记作R(A),并规定零矩阵的秩为O。 例：①求上例矩阵A的秩。（降秩矩阵）》 (121 例：②求矩阵A=231 的秩。（满秩矩阵） 4713 一方阵A可逆，可逆矩阵的秩等于其阶数n,称为满秩矩阵，不可逆矩阵的 秩小于其阶数n,称为降秩矩阵。 (2-103 -2 031-25 例：③求矩阵B= 的秩。（行阶梯形矩阵） 0004-3 00000Js 一行阶梯形矩阵的秩就等于其非零行的行数，即等于阶梯的个数。 定理：矩阵经初等变换，秩不变。（若两个矩阵等价，则它们的秩相等。） -求秩方法：A~行阶梯形矩阵B,则R(A)=R(B)=B的非零行的行数。 32050Y 例：④求矩阵4236-1 的秩，并求一个最高阶非零子式。 2015-3 16-4-14 12-11 例：⑤设A=32元-1已知R(4)=2,求元，4的值。 5634 1-22 1 2 -48 0 例：⑥设A= ,b= 求A,B=(A,b)的秩。 -2 4 -2 23 3 6 0 6/
k 阶子式。 举例： 3 3 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 ´ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ A = 定义（矩阵秩）：设在矩阵 A中有一个不等于 0 的 k 阶子式 D，且所有 k +1阶子 式（如果存在的话）都等于 0，那么 D 称为 A的最高阶非零子式（最高阶非零子 式不一定唯一），数k 称为矩阵 A 的秩，记作 R A( )，并规定零矩阵的秩为 0。 例：①求上例矩阵 A1的秩。（降秩矩阵） 例：②求矩阵 3 3 4 7 1 2 3 1 1 2 1 ¸ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ A = 的秩。（满秩矩阵） ——方阵 An´n 可逆，可逆矩阵的秩等于其阶数n ，称为满秩矩阵，不可逆矩阵的 秩小于其阶数n ，称为降秩矩阵。 例：③求矩阵 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 ´ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - B = 的秩。（行阶梯形矩阵） ——行阶梯形矩阵的秩就等于其非零行的行数，即等于阶梯的个数。 定理：矩阵经初等变换，秩不变。（若两个矩阵等价，则它们的秩相等。） ——求秩方法：A～行阶梯形矩阵 B,则 R(A)=R(B)=B 的非零行的行数。 例：④求矩阵 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 A æ ö ç ÷ - - = - è ø - - 的秩，并求一个最高阶非零子式。 例：⑤设 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = m l 5 6 3 3 2 1 1 2 1 1 A 已知 R(A) = 2 ,求l, m 的值。 例：⑥设 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - - - - = 4 3 2 1 , 3 6 0 6 2 4 2 3 2 4 8 0 1 2 2 1 A b ，求 A, B = (A,b)的秩