第二章空间的平面和直线 本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟 练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹 角。 本章教学重点：(1)空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式： (2)平面与空间直线间各种位置关系的解析条件： (3)平面与空间直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点：(1)空间直线一般方程向标准方程的转化： (2)综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。 本章教学内容。 §2.1仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置 2.11平面的方程 确定一个平面的条件有：不在同一直线上的三个点：一条直线和直线外的一点：两条相 交或平行直线。为了利用向量法，我们将利用“一点和两个不共线的向量来确定一个平面”。 约定：π一表示平面： 定义：与平面π平行的一对非共线向量，2，称为π的方位向量。与π垂直的非零向 量，称为π的法线向量，简称法向量。 一平面的参数方程 1.已知π上一点M及其方位向量a,b时： 建立坐标系Oe,e2,e3设%=OMo={oo,2o},对动点M(x,水，)，设 F=OM={x,y,},则M∈π台MoM,a,6共面一F-r,a,i共面台 r-r。=a+b台r=ro+la+vb, 一π的向量式参数方程(1)
第二章 空间的平面和直线 本章教学目的：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，熟 练掌握平面与空间直线间各种位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹 角。 本章教学重点：（1）空间坐标系下平面、直线方程的几种重要形式； （2）平面与空间直线间各种位置关系的解析条件； （3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点：（1）空间直线一般方程向标准方程的转化； （2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程。 本章教学内容： §2.1 仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置 2.1.1 平面的方程 确定一个平面的条件有：不在同一直线上的三个点；一条直线和直线外的一点；两条相 交或平行直线。为了利用向量法，我们将利用“一点和两个不共线的向量来确定一个平面”。 约定： —表示平面； 定义：与平面 平行的一对非共线向量 v v 1 2 , ，称为 的方位向量。与 垂直的非零向 量 n ，称为 的法线向量，简称法向量。 一 平面的参数方程 1.已知 上一点 M 0 及其方位向量 a b, 时： 建立坐标系 O e e e ; , , 1 2 3 ，设 r OM x y z 0 0 0 0 = =0 , , ，对动点 M x y z ( , , ) ，设 r OM x y z = ={ , , } ，则 0 M M M a b , , 共面 0 r r a b − , , 共面 r r a b − = + 0 r r ua vb = + + 0 ， ———— 的向量式参数方程 （1）
(1)式两边与a×b作内积，消去参数u,v得 (a×b-(心-r)=0,或G-r。,a,b)=0。 一π的向量形式的点位式方程 若令a={X,X,Z,b={X2,Y,Z},则 [x=xo+Xu+X2v y=yo+Yu+rv, π的坐标式参数方程(2) ==50+Ziu+Zav 注：经过原点并以a={X,X,乙，b={X2,当2，乙2}为方位向量的平面的参数方程为 x=X u+X2v, y=Yu+yv,u,vER, =Zu+Z2v. 写成映射是F:R2→R,F(山，)=(Xu+Xy,Yu+Y,Z,4+Zv)兰(x,),这是代数 中三维向量空间中的线性曲面的表达式，所以空间中经过原点的平面的参数方程是三维向量 空间中的线性曲面的几何意义。 二平面的普通方程 为得到π的普通方程，我们有 x-x0y-%-0 M∈π-MoM,a,b共面一 X Y Z /0, π坐标式的点位式方程(3) X2 Y,Z 可转化为 Ax+By+Cz+D=0,一 -π的一般（普通）方程 (4) 其中 ZZ .c-D=+C). Y X 三平面的其他方程 1.已知平面π上三非共线点M,i=l,2,3,建立坐标系O,e,e2,e,设r=OM
（1）式两边与 a b 作内积，消去参数 u v, 得 0 ( ) ( ) 0, a b r r − = 或 0 ( , , ) 0 r r a b − = 。———— 的向量形式的点位式方程 若令 1 1 1 2 2 2 a X Y Z b X Y Z = = { , , }, { , , } ，则 0 1 2 0 1 2 0 1 2 , , . x x X u X v y y Y u Y v z z Z u Z v = + + = + + = + + ———— 的坐标式参数方程 （2） 注：经过原点并以 1 1 1 2 2 2 a X Y Z b X Y Z = = { , , }, { , , } 为方位向量的平面的参数方程为 1 2 1 2 1 2 , , , , . x X u X v y Y u Y v u v R z Z u Z v = + = + = + 写成映射是 2 3 1 2 1 2 1 2 F R R F u v X u X v Y u Y v Z u Z v x y z : , ( , ) ( , , ) ( , , ) → = + + + ，这是代数 中三维向量空间中的线性曲面的表达式，所以空间中经过原点的平面的参数方程是三维向量 空间中的线性曲面的几何意义。 二 平面的普通方程 为得到 的普通方程，我们有 0 M M M a b , , 共面 2 2 2 1 1 1 0 0 0 X Y Z X Y Z x − x y − y z − z =0，—— 坐标式的点位式方程（3） 可转化为 Ax By Cz D + + + = 0，———— 的一般（普通）方程 (4) 其中 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 1 2 , , , ( ) Y Y X X X X A B C D Ax By Cz Z Z Z Z Y Y = = = = − + + 。 三 平面的其他方程 1. 已知平面 上三非共线点 M i i , 1,2,3 = ，建立坐标系 O e e e ; , , 1 2 3 ，设 i i r OM =
={x,y,1=1,2,3。对动点M,令r=0={x,八，由(1)，(2)，(3)有 M∈π台r=n1+u(G2-)+v(T3-1), [x=x+(x2-x)+(x3-x)2 y=片+2-y)+-y) (6 2=51+(2-)+(3-) x-x y-y 3-x-2-=0。 (6) 5-xy-月3- (4)一(6)统称为平面π的三点式方程。特别地，若M,是π与坐标轴的交点，即 M,(a,0,0,M2(0,b,0),M(0,0,c,(abc≠0)，则 x-a y z Meπ-ab0=0 (7) -a 0 c 即言十方+后=1一价粮题式方运。其中a6c秋为x在三坐标销上的酸距。 2.已知平面π上一点M。及其法向量： 建立直角坐标系{O,i,j,k,设r0=OM={x,0},n={AB,C}, (图3.1) 对动点M,令r=OM={x,y,},则
{ , , }, 1,2,3 i i i = = x y z i 。 对动点 M ，令 r OM x y z = ={ , , }，由（1），（2），（3）有 M r r u r r v r r = + − + − 1 2 1 3 1 ( ) ( ), 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), x x u x x v x x y y u y y v y y z z u z z v z z = + − + − = + − + − = + − + − （5） 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x y y z z x x y y z z x x y y z z − − − − − − − − − =0。 （6） （4）—（6）统称为平面 的三点式方程。特别地，若 Mi 是 与坐标轴的交点，即 1 2 3 M a M b M c abc ( ,0,0), (0, ,0), (0,0, ),( 0) ，则 0 0 x a y z M a b a c − − − =0， （7） 即 + + = 1 c z b y a x ———— 的截距式方程。 其中 abc , , 称为 在三坐标轴上的截距。 2. 已知平面 上一点 M0 及其法向量 n ： 建立直角坐标系 { ; , , } O i j k ，设 0 0 0 0 0 r OM x y z n A B C = = = { , , }, { , , }， (图 3.1) 对动点 M ，令 r OM x y z = ={ , , } ，则
M∈π台MoM1n台A(x-x)+By-%)+C(e-)=0,(8) π的点法式方程或法线式方程。 特别地，若M。是自O向π所作垂线的垂足，而 OM. O7且记OM-pn=OM=pm. MExM MLn(F-Fo)=0xcosa+ycosB+=cos7-p=0,(9) 其中n={cosa,cosB,cos},该方程称为π的法式方程，它有如下特征： 1°一次项系数的平方和等于1： 2°常数项-p≤0。 四一般方程向法式方程的转化： 在直角坐标系下，若己知π的一般方程为Ax+By+C:+D=0,则{A,B,C是π的 法向量，而法式方程(9)中的一次项系数是π的一特殊单位法向量的分量。将一般方程化 为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子1=±，c,有(+By+C:+D)=0, 再据元D≤0选取无的符号即可。 下面，我们介绍平面方程中系数A,B,C,D的几何意义。 定理2.1.1设平面π的方程是(4)，则向量(,3,)平行于平面π的充分必要条件是 Ar+Bs+C1=0。 r xx 证明：O∥π的充分必要条件是O,2共面，从而SYy=0,即r+Bs+C1=0。 t ZZ 因为平面π的方程Ax+By+C:+D=0中A,B,C不全为0，取A≠0，令 m(-县，1,0)，(-，0,1)， 则，2∥π，并且1,2不共线。由于与平面π平行的两个不共线的向量可以决定平面
0 0 0 0 M M M n A x x B y y C z z ⊥ − + − + − = ( ) ( ) ( ) 0， （8） ———— 的点法式方程或法线式方程。 特别地，若 M0 是自 O 向 所作垂线的垂足，而 OM n OM = 。 。 ，且记 0 0 0 OM p r OM pn = = = , ， 0 0 M M M n r r n x y z p ⊥ − • = + + − = ( ) 0 cos cos cos 0 ， （9） 其中 n ={cos ,cos ,cos } ，该方程称为 的法式方程，它有如下特征： 1°一次项系数的平方和等于 1； 2°常数项 − p 0 。 四 一般方程向法式方程的转化： 在直角坐标系下，若已知 的一般方程为 Ax By Cz D + + + = 0 ，则 { , , } A B C 是 的 法向量，而法式方程（9）中的一次项系数是 的一特殊单位法向量的分量。将一般方程化 为法式方程只需在一般方程两边同乘以因子 2 2 2 1 A B C + + = ,有 ( ) 0 Ax By Cz D + + + = ， 再据 D 0 选取 的符号即可。 下面，我们介绍平面方程中系数 A B C D , , , 的几何意义。 定理 2.1.1 设平面 的方程是(4)，则向量 ( , , ) r s t 平行于平面 的充分必要条件是 Ar Bs Ct + + = 0。 证明: ∥ 的充分必要条件是 , , v v 1 2 共面，从而 1 2 1 2 1 2 0 r X X s Y Y t Z Z = ，即 Ar Bs Ct + + = 0。 因为平面 的方程 Ax By Cz D + + + = 0 中 A B C , , 不全为 0，取 A 0 ，令 1 2 ( ,1,0), ( ,0,1) B C A A − − ， 则 1 2 , ∥ ，并且 1 2 , 不共线。 由于与平面 平行的两个不共线的向量可以决定平面
的定向，因此平面方程中一次项系数可以平面的定向。 推论2.2.1设平面π的是（④），则平面π平行于x轴（或y,:轴）的充分必要条件是 A=0(B=0,C=0):平面π通过原点的充分必要条件是D=0。 定理2.1.2在空间取定一个仿射坐标系，则平面的方程必定是三元一次方程：反之，任意 个三元一次方程表示一个平面。 证明：由平面普通方程的建立知平面的平面的方程必定是三元一次方程。 反之，任给一个三元一次方程(6)，不妨设A≠0，取三点 42n04(P04(n 由于-(0-(0则4,4不共线，即M,4,4不共载 从而它们确定的平面π的方程为 0 A 0 展开即为(6)。 例1：画出平面x+2y-2=0。 解因为D=0,所以平面过原点。解方程r+25-1=0求得两个不共线的向量(2，-1,0)， 2(L,0,)。以原点为起点画出M,2。则所求平面就是由原点和，V2所确定的平面。 例2：在空间直角坐标系下，己知4A(L,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面方程。 解：法1.线段AB的中点C的坐标为（任，），平面的法向量为n=AB=(L,-3,1),由 平面方程的点法式得 1x-引-3x-}+1(-}=0=2-6y+2-7=0
的定向，因此平面方程中一次项系数可以平面的定向。 推论 2.2.1 设平面 的是(4)，则平面 平行于 x 轴（或 y z, 轴）的充分必要条件是 A B C = = = 0( 0, 0) ；平面 通过原点的充分必要条件是 D = 0 。 定理 2.1.2 在空间取定一个仿射坐标系，则平面的方程必定是三元一次方程；反之，任意一 个三元一次方程表示一个平面。 证明：由平面普通方程的建立知平面的平面的方程必定是三元一次方程。 反之，任给一个三元一次方程（6），不妨设 A 0 ，取三点 1 2 3 ,0,0 , ,1,0 , ,0,1 D B D C D M M M A A A + + ， 由于 2 1 3 1 ,1,0 , ,1,0 B C M M M M A A = = − ，则 2 1 3 1 M M M M , 不共线，即 1 2 3 M M M , , 不共线， 从而它们确定的平面 的方程为 1 0 0 0 1 D x y z A B A C A + − = − ， 展开即为（6）。 例 1：画出平面 x y z + − = 2 0 。 解 因为 D = 0 ，所以平面过原点。解方程 r s t + − = 2 0 求得两个不共线的向量 v1(2, 1,0) − ， v2 (1,0,1) 。以原点为起点画出 v v 1 2 , 。则所求平面就是由原点和 v v 1 2 , 所确定的平面。 例 2：在空间直角坐标系下，已知 A B (1,2,3), (2, 1,4) − ，求线段 AB 的垂直平分面方程。 解：法 1. 线段 AB 的中点 C 的坐标为 ( ) 3 7 1 2 2 2 , , ，平面的法向量为 n AB = = − (1, 3,1) ，由 平面方程的点法式得 3 1 7 1 ( 3) 1 0 2 6 2 7 0. 2 2 2 x y z x y z − + − − + − = − + − =