罗尔定理定理（罗尔定理）设函数f(x)满足y(1）在闭区间[a,b] 上连续;y= f(x)(2)在开区间(a,b)内可导;bxa2(3) f(a) =f(b),则日E(a,b), 使得f'()=0。证若函数fx）为常值函数，则结论成立。否则，由（1）知f(x)有最大值M及最小值m，且M+m,由 (3) 知M 及m至少有一个在点E(a,b)处取到，再由（2）及费马定理，f(）=0。12
12 罗尔定理 � � � � � = � � � 定理（罗尔定理） 设函数 � � 满足 （1）在闭区间 �, � 上连续； （2）在开区间 �, � 内可导； （3）� � = � � ， 则 ∃ � ∈ �, � ，使得 � ′ � = �。 证 若函数 � � 为常值函数，则结论成立。 否则，由（1）知 � � 有最大值 � 及最小值 �，且 � ≠ �， 由（3）知 � 及 � 至少有一个在点 � ∈ �, � 处取到， 再由（2）及费马定理，� ′ � = �
罗尔定理注罗尔定理中几个条件均不可少。OaOF推论 若f(x) E C[a,b)nD(a,b), 且在 (a,b) 上有f'(x) ± 0,则y=f(x)在[a,b]上必是单射函数，具有反函数。证反证法，假设非单射，则日x1<x2，使得f(x1)=f(x2),又 f(x) E C[x1, x2] n D(x1, x2) ,由罗尔定理，日E(x1,x2)C(a,b)，使得f'()=0，矛盾！13
13 罗尔定理 � � � � 注 罗尔定理中几个条件均不可少。 � � 推论 若 � � ∈ � �, � ∩ � �, � ，且在 �, � 上有 � ′ � ≠ �， 则 � = � � 在 �, � 上必是单射函数，具有反函数。 证 反证法，假设非单射，则 ∃ �� < ��，使得 � �� = � �� ， 又 � � ∈ � ��, �� ∩ � ��, �� ， 由罗尔定理，∃ � ∈ ��, �� ⊂ �, � ，使得 � ′ � = �，矛盾！
罗尔定理例证明：方程x3-3x +1 = 0 在(0,1)内仅有一个实根。14
14 罗尔定理 例 证明：方程 � � − �� + � = � 在 �, � 内仅有一个实根
罗尔定理推论（广义罗尔定理）设 f(x) E C[a, + ) nD(a, + ),若 lim f(x)=f(a)，则日E (a,+oo), 使得f'() =0。x→+15
15 罗尔定理 推论（广义罗尔定理） 设 � � ∈ � �, + ∞ ∩ � �, + ∞ ， 若 𝐥� �→+∞ � � = � � ，则 ∃ � ∈ �, + ∞ ，使得 � ′ � = �
罗尔定理设 f(x) E D(a,b),推论（广义罗尔定理）若 limf(x)=limf(x)=A，则日E (a,b)，使得f'()=0。x→x-设f(x) E D(a,b),推论（广义罗尔定理）若 lim f(x)=limf(x)=+ o0，或同为 一o0,x-bx-a则日E(a,b),使得f'()= 0。16
16 罗尔定理 推论（广义罗尔定理） 设 � � ∈ � �, � ， 若 𝐥� �→� + � � = 𝐥� �→�− � � = �，则 ∃ � ∈ �, � ，使得 � ′ � = �。 推论（广义罗尔定理） 设 � � ∈ � �, � ， 若 𝐥� �→� + � � = 𝐥� �→�− � � =+ ∞，或同为 −∞， 则 ∃ � ∈ �, � ，使得 � ′ � = �