费马定理m定理（费马定理）设函数f(x在点xo处取到极值，且f(x)在点xo处可导，则f'(xo)=0。证不妨设f(xo）是一个极大值，f(x)-f(xo) ≥ 0,则>0, xE(xo-8,xo),x-xo所以, f-(xo) = lim f(x)-f(xo)2≥0,x-xox→xo而对 V x E (xo, xo + 8), f(x)-f(x0)≤0,x-xo所以, f*(xo) = lim f(x)-f(xo) ,2≤0,x-xox-→x因为f(x)在点xo处可导，所以f'(xo)=f-(xo)=f+(xo)=0
7 费马定理 定理（费马定理） 设函数 � � 在点 �� 处取到极值， 且 � � 在点 �� 处可导，则 � ′ �� = �。 证 不妨设 � �� 是一个极大值， 则 ∃ � > �，∀ � ∈ �� − �, �� ， � � −� �� �−�� ≥ �， 所以，�− ′ �� = 𝐥� �→��− � � −� �� �−�� ≥ �， 而对 ∀ � ∈ ��, �� + � ， � � −� �� �−�� ≤ �， 所以，�+ ′ �� = 𝐥� �→�� + � � −� �� �−�� ≤ �， 因为 � � 在点 �� 处可导，所以 � ′ �� = �− ′ �� = �+ ′ �� = �
费马定理T推论设函数f(x）在区间I内部一点xo处取到最值，且f(x)在点xo处可导，则f'(xo)=0。定义若函数f(x)满足f'(xo)=0，则称xo是f(α)的一个驻点。注函数的可导点为驻点是该点为极值点的一个必要条件。函数的极值点也可能出现在不可导点。因此，应该在函数的驻点及不可导点中寻找函数的极值点，而在函数的驻点、不可导点及端点中寻找函数的最值点
8 费马定理 推论 设函数 � � 在区间 � 内部一点 �� 处取到最值， 且 � � 在点 �� 处可导，则 � ′ �� = �。 定义 若函数 � � 满足 � ′ �� = �，则称 �� 是 � � 的一个驻点。 注 函数的可导点为驻点是该点为极值点的一个必要条件。 函数的极值点也可能出现在不可导点。 因此，应该在函数的驻点及不可导点中寻找函数的极值点， 而在函数的驻点、不可导点及端点中寻找函数的最值点
费马定理例设函数f(x)EC[a,b]nD(a,b)且f(a)f(b) > 0, f(a)f<0, 证明: 3E(a,b),f'() = 0
9 费马定理 例 设函数 � � ∈ � �, � ∩ � �, � ， 且 � � � � > �，� � � �+� � < �，证明：∃ � ∈ �, � ，�′ � = �
微分中值定理amur问题以下两个结论是否是等价的？(1)函数f(x）在区间I上等于常数，(2)函数f(x)在区间 上可导，且f'(x)=0。计算导数，可得（1）一（2），若要（2）一（1），则需要利用微分中值定理。微分中值定理是微分学中最重要的定理之一。微分中值定理包括：罗尔定理、拉格朗日定理以及柯西定理。10
10 微分中值定理 问题 以下两个结论是否是等价的？ （1） 函数 � � 在区间 � 上等于常数， （2） 函数 � � 在区间 � 上可导，且 � ′ � = �。 计算导数，可得 （1）⟹（2）， 若要（2）⟹（1），则需要利用微分中值定理。 微分中值定理是微分学中最重要的定理之一 。 微分中值定理包括：罗尔定理、拉格朗日定理以及柯西定理
罗尔定理例考虑函数f(x)，其图像为经过水平两点A和B的一条光滑曲线，问其是否具有一条水平的切线？y（x）yb2(xb5Weaaxx福
11 罗尔定理 例 考虑函数 � � ，其图像为经过水平两点 � 和 � 的一条光滑曲线， � 问其是否具有一条水平的切线？ � � � � � � = �3 � � � � � � � = �1 � � � � � � = �2 �