第九章第五节隐函数的求导方法本节讨论：一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数000C自录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第五节 第九章 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数的求导方法 本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数F: X×Y -→R, F(x,y) = 0如对于VxEICX，恒有唯一确定的VEJCY它与x一起满足F(x,y)=0，就称F(x,)=0确定了一个定义在I上值域含于J的隐函数000目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 隐函数 F : X Y → R, F(x, y) = 0 如对于x I X,恒有唯一确定的yJ Y, 它与x一起满足F(x, y) = 0, 就称F(x, y) = 0 确定了一个定义在 上值 含于 的 I J , . 域 隐函数 一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1.设函数 F(x,y)在点 P(xo,yo)的某一邻域内满足（1）具有连续的偏导数）(2) F(xo, yo) = 0;(3) F,(xo , yo) ± 0则方程 F(x,J)=0在点xo 的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数 y=f(x)，满足条件yo=f(xo),并有连续导数Fdy（隐函数求导公式）dx000自目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 设函数 ( , ) 0; F x0 y0 = 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 y x F F x y = − d d (隐函数求导公式) (1) 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0 (2) (3) 满足条件 导数
证明：由条件(3),不妨设F,(o,%)>0,1.先证隐函数y=f(x)的存在性和唯一性由条件(1),F,在D内连续，由连续函数的局部保号性存在P的某一闭的方邻域[xo -β,x + β] ×[yo - β, yo+β] cD使得在其上每一点处都有 F,(x,J)>0.因此，对每个固定的为 xe[xo-β,xo+β]F(x,J)作为 的一元函数,必定在[yo-β,y。+β] 上严格增且连续由 F(xo,yo)=0可知,F(xo,Jo -β)<0,F(xo,J +β)> 000008目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 证明: 由条件( )不妨设 3 , , 0, F x y y ( 0 0 ) 1. ( ) 先证隐函数 的存在性和唯一性 y f x = (1), , 由条件 在 内连续 F D y 由连续函数的局部保号性, − + 0 0 x , x − + 0 0 y , y D 存在P0的某一闭的方邻域 使得在其上每一点处都有 F (x, y) 0. y , , 因此,对每个固定的 x x0 − x0 + F(x, y) 作为 y 的一元函数,必定在 − + 0 0 y , y 上严格增且连续. ( , ) 0 , 由F x0 y0 = 可知 ( , ) 0, F x0 y0 − F(x0 , y0 + ) 0
又由F的连续性条件，可知道函数F(x,yo-)与F(x,y+)在[xo-β,x+β上也是连续的，由保号性,存在 α>0(α≤β)当xE(x-α,x+α)时,恒有F(x,yo-β)<0, F(x,yo+β)> 0如图：在矩形ABA'B'的++BA++边AB上F取负值yo+β在边AB'上F取正值yo因此,对(x-α,X+α),Yo-βF(x,o -β)<0,X0xXotaXoXoaF(x,y+β)>0,xo+βXo-B目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 又由 F 的连续性条件, 可知道函数 ( − ) 0 F x, y ( + ) 0 与 F x, y 在 − + 0 0 x , x 上也是连续的, 由保号性, 存在 0( ), 当 x(x0 −, x0 +)时,恒有 ( , ) 0, ( , ) 0. F x y0 − F x y0 + 如图: ' ' , ABA B AB F 在矩形 的 边 上 取负值 在边A'B'上F取正值. 因此 对, , , − + x x x ( 0 0 ) ( , ) 0, ( , ) 0, 0 0 + − F x y F x y