山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 5.2标准形
5.2 标准形
加东翟2大 本节主要介绍化二次型为标准形的两种方法： 配方法 合同变换法
本节主要介绍化二次型为标准形的两种方法： 配方法 合同变换法
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理数域P上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 矩阵语言的叙述： 定理数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵
定理 数域𝑃上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 矩阵语言的叙述： 定理 数域𝑃上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵
山东濯工大深 倒1化二次型f(x1,x2,x3)=x子-4x1x2+2x1x3+4x经+2x3 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解f(x1,x2,x3)=x子+(-4x2+2x3)x1+4x2+2x3 =(x1-2x2+x3)2-(-4x2+2x3)2+4x2+2x3 =(x1-2x2+x3)2+4x2x3+x3 不含x1 对这一部分继续配方 =(x1-2x2+x3)2+(x3+2x2)2-4x3
例1 化二次型𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 2 − 4𝑥1𝑥2 + 2𝑥1𝑥3 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 − −4𝑥2 + 2𝑥3 2 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = 𝑥1 2 + (−4𝑥2 + 2𝑥3 )𝑥1 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 不含𝑥1 2 + 4𝑥2𝑥3 + 𝑥3 2 对这一部分继续配方 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 + 𝑥3 + 2𝑥2 2 − 4𝑥2 2
G》 山东程子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY f(x1,X2,x3)=(x1-2x2+x3)2+(x3+2x2)2-4x2 令 即 x1-2x2+x3=y1, x1=y1-y2+4y3, X3+2x2=y2, X2=y3, x2=y3: x3=y2-2y3 得 f(x1,x2,x3)=y+y3-4y3 一一 配方法
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 + 𝑥3 + 2𝑥2 2 − 4𝑥2 2 令 ቐ 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 , 𝑥3+2𝑥2 = 𝑦2 , 𝑥2 = 𝑦3 . 即 ቐ 𝑥1 = 𝑦1 − 𝑦2 + 4𝑦3 , 𝑥2 = 𝑦3 , 𝑥3 = 𝑦2 − 2𝑦3 . 得 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 2 + 𝑦2 2 − 4𝑦3 2 ——配方法