山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2 化二次型f(x1,x2,x3)=x1X2+x2x3+X3x1为标准形， 并求所作的非退化线性替换。 解令 x1=y1+y2, x2=y1-y2, x3=y3 f(x1,x2,x3)=(y1+y2)0y1-y2)+(y1-y2)y3+y30y1+y2) =y-y2+2y1y3
例2 化二次型𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1为标准形， 并求所作的非退化线性替换。 解 令 ቐ 𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2 , 𝑥3 = 𝑦3 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦1 − 𝑦2 𝑦3 + 𝑦3 (𝑦1 + 𝑦2 ) = 𝑦1 2 − 𝑦2 2 + 2𝑦1𝑦3
山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY f(x1,x2,x3)=y1-y吃+2y1y3 =(y1+y3)2-y3-y 令 即 y1+y3=Z1 y1=Z1-y3, y2=Z2, y2=Z2, y3=Z3 y3=z3 得 f(x1,x2,x3)=z子-z3-z3
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 2 − 𝑦2 2 + 2𝑦1𝑦3 = 𝑦1 + 𝑦3 2 − 𝑦3 2 − 𝑦2 2 令 ቐ 𝑦1 + 𝑦3 = 𝑧1 , 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑦3 = 𝑧3 即 ቐ 𝑦1 = 𝑧1 − 𝑦3 , 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑦3 = 𝑧3 得 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑧1 2 − 𝑧2 2 − 𝑧3 2