山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.3 维数·基与坐标
6.3 维数 • 基与坐标
加东翟2大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 ●线性相关与线性无关 线性空间的维与基
主要内容 线性相关与线性无关 线性空间的维与基
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1 证明 p1(x)=1+x,p2(x)=1-x,p3(x)=x+x2 线性无关. 证明 设 k1p1(x)+k2p2(x)+k3p3(x)=0, 即k1(1+x)+k2(1-x)+k3(x+x2)=0, 也即(k1+k2)+(k1-k2+k3)x+k3x2=0, 于是k1+k2=0;k1-k2+k3=0;k3=0, 从而得k1=k2=k3=0
例 1 证明 线性无关. 证明 设 𝑘1 𝑝1 (𝑥) + 𝑘2 𝑝2 (𝑥) + 𝑘3 𝑝3 (𝑥) = 0 , 即 𝑘1 ( 1 + 𝑥 ) + 𝑘2 ( 1 − 𝑥 ) + 𝑘3 ( 𝑥 + 𝑥 2 ) = 0 , 也即 ( 𝑘1 + 𝑘2 ) + ( 𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 ) 𝑥 + 𝑘3 𝑥 2 = 0 , 于是 𝑘1 + 𝑘2 = 0； 𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 = 0； 𝑘3 = 0 . 从而得 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 0 . 𝑝1 𝑥 = 1 + 𝑥, 𝑝2 𝑥 = 1 − 𝑥, 𝑝3 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 2
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、线性空间的维数与基 1.线性空间的维数 1)引入包 2)定义1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量， 但是没有更多数目的线性无关的向量，那么，V就称为维 的.记作dimV=n. 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就 称为无限维的. 例如
二、线性空间的维数与基 1. 线性空间的维数 我们知道，对于几何空间中的向量，线性无 关的向量最多是 3 个，而任意 4 个向量都是线性相 关的. 对于 n 元数组所成的向量空间，有 n 个线性 无关的向量，而任意 n + 1 个向量都是线性相关的. 在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的 向量，显然是线性空间的一个重要属性. 为此，我们 1) 引入 2) 定义 1 如果在线性空间 𝑉 中有 𝑛 个线性无关的向量， 但是没有更多数目的线性无关的向量，那么 𝑉 就称为𝑛 维 的.记作dim 𝑉 = 𝑛. 如果在 𝑉 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么 𝑉 就 称为无限维的. 例如 几何空间中向量所成的线性空间是三维的； n 元数组所成的空间是 n 维的； 由所有实系数多项式所成的实线性空间是无 限维的，因为对于任意的 n , 都有 n 个线性无关的 向量 1 , x , . , x n - 1
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2.线性空间的基 定义2在n维线性空间V中，n个线性无关的向量， 2,.,G称为V的一组基.设是V中任一向量，于是 6,.,G,&线性相关，因此a可以被基6,2，.， Gn线性表出： u=a1+a282+.+ann, 其中系数a1a2,.,an是被向量a和基6,2，.，m唯 确定的，这组数就称为在基6,2，.，Gn下的坐标，记 为（a1a2,.,an)
2. 线性空间的基 定义 2 在 𝑛 维线性空间 𝑉 中， 𝑛 个线性无关的向量 1 , 2 , . , 𝑛 称为 𝑉 的一组基. 1 , 2 , . , 𝑛 , 线性相关，因此 可以被基 1 , 2 , . , 𝑛线性表出： = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 , 其中系数 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 是被向量 和基 1 , 2 , . , 𝑛唯一 确定的，这组数就称为 在基 1 , 2 , . , 𝑛下的坐标，记 为 ( 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 ) . 设 是𝑉 中任一向量，于是