加东翟2大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.4 基变换与坐标变换
6.4 基变换与坐标变换
G》 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、基变换 在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以 作为线性空间的基，即空间的基不唯一，对不同的基，同 一个向量的坐标一般是不同的. 在这一节中，我们要研究的问题是，随着基的改变， 向量的坐标是怎样变化的
一、基变换 在 𝑛 维线性空间中，任意 𝑛 个线性无关的向量都可以 作为线性空间的基，即空间的基不唯一. 对不同的基，同 一个向量的坐标一般是不同的. 在这一节中，我们要研究的问题是，随着基的改变， 向量的坐标是怎样变化的
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1.定义 定义1 设e1,E2,.,en与e1,2,.,7是n维线性空间V 中两组基，它们的关系是 8f a1181+a2182++an1En, e2=a12e1+a22e2+.+an2e (1) En ainE1+azn82+.+annEn 称(1)为基变换公式
1. 定义 定义1 设 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛 与 𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 是 𝑛 维线性空间 𝑉 中两组基，它们的关系是 称 (1) 为基变换公式. 𝜀1 ′ = 𝑎11𝜀1 + 𝑎21𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝜀𝑛, 𝜀2 ′ = 𝑎12𝜀1 + 𝑎22𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝜀𝑛, ⋯ ⋯ 𝜀𝑛 ′ = 𝑎1𝑛𝜀1 + 𝑎2𝑛𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝜀𝑛 (1)
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2.基变换公式的矩阵形式 为了写起来方便，我们引入一种形式的写法把基写成 一个1×n矩阵，于是(1)可写成如下矩阵形式： 011 Q12 01n (e1,2,.,7)=(e1,e2,.,en) 021 022 02n ani an2 ann
2. 基变换公式的矩阵形式 为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.把基写成 一个 1 𝑛 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩阵形式： 𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ = (𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛
加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 矩阵 011 Q12 . ain a21 a22 02n ani an2 ann 称为由基E1,2,.,n到12，.，7过渡矩阵. 由于1，克，.，e是线性无关的，所以过渡矩阵A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵A是可逆的，注意
矩阵 称为由基 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛 到 𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 过渡矩阵. 由于𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 是线性无关的，所以过渡矩阵 𝐴 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 𝐴 是可逆的. 注意 : 1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的” . 因为 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的. 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , . , anj), 就是第二组基向量 j 在第一组 1 , 2 , . , n 下的 坐标. 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛