高等代数 线性相关性
高等代数 线性相关性
一、线性表示的定义 第三章线性方程组 三维几何空间中： 若B与a共线，a≠0，则B=ka. 称a和B线性相关， 若B与C1,Qa2共面，且a1,a2不共线，那么 B=k1a1+k2a2 (k1,k2是数) 称α1，C2,B线性相关
第三章 线性方程组 三维几何空间中： 若𝜷与𝜶共线，𝜶 ≠ 𝟎，则𝜷 = 𝒌𝜶. 称𝜶和𝜷线性相关. 若𝜷与𝜶𝟏, 𝜶𝟐共面，且𝜶𝟏,𝜶𝟐不共线，那么 𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 (𝒌𝟏,𝒌𝟐是数) 称𝜶𝟏,𝜶𝟐, 𝜷线性相关 一、线性表示的定义
线性相关性 第三章线性方程组 定义如果向量组a142,.,a(s≥2)中有一个向量可以由其余向 量线性表示，那么向量组a1,a2,.,Q,称为线性相关的.如果向量组 Q1,Q2,.,中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则称向 量组1,02，.，C线性无关. 例如(1)a1=(2,-1,3,1),a2=(3,-2,5,4),3=(4,-2,6,2) a3=2a1 1,2,a3线性相关。 (2)1=(1,0),e2=(0,1)线性无关
第三章 线性方程组 定义 如果向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔 (𝒔 ≥ 𝟐)中有一个向量可以由其余向 量线性表示，那么向量组𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔称为线性相关的. 如果向量组 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则称向 量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性无关. 例如(1) 𝜶𝟏 = 𝟐, −𝟏, 𝟑, 𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝟑, −𝟐, 𝟓, 𝟒 , 𝜶𝟑 = 𝟒, −𝟐, 𝟔,𝟐 𝜶𝟑 = 𝟐𝜶𝟏, 𝜶𝟏,𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性相关. (2) 𝜺𝟏 = 𝟏, 𝟎 , 𝜺𝟐 = (𝟎, 𝟏)线性无关. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 。规定，一个向量线性相关，即a=0. 一个向量a线性无关，即a卡0. 两个向量a=(a1va2,.,an),B=(b1,b2,.,bn)线性相关的充分必要条件 是它们的对应分量成比例. 证明若，β线性相关，则必有一个向量可以由另一个向量线性表示， 不妨设a=kB,即 (a1,a2,.,an)=k(b1b2,.,bn)=(kb1,kb2,.,kbn), a1=kb:(i=1,2,.,n). an 反之亦成立
第三章 线性方程组 • 规定，一个向量𝜶线性相关，即𝜶 = 𝟎. 一个向量𝜶线性无关，即𝜶 ≠ 𝟎. • 两个向量𝜶 = 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , ⋯ , 𝒂𝒏 ，𝜷 = (𝒃𝟏 ,𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒃𝒏)线性相关的充分必要条件 是它们的对应分量成比例. 证明 若𝜶,𝜷线性相关，则必有一个向量可以由另一个向量线性表示， 不妨设𝜶 = 𝒌𝜷，即 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , ⋯ ,𝒂𝒏 = 𝒌 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒃𝒏 = 𝒌𝒃𝟏 ,𝒌𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒌𝒃𝒏 , 𝒂𝒊 = 𝒌𝒃𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏 . 𝒂𝟏 𝒃𝟏 = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 = ⋯ = 𝒂𝒏 𝒃𝒏 . 反之亦成立. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 ”几何意义： 两个向量α，B线性相关台心，B共线； 三个向量a,B,y线性相关台心，B,Y共面
第三章 线性方程组 • 几何意义： 两个向量𝜶, 𝜷线性相关⇔ 𝜶,𝜷共线； 三个向量𝜶, 𝜷,𝜸线性相关⇔ 𝜶, 𝜷, 𝜸共面. 线性相关性